Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven (1691, 1694, 1695), (1744)

126 Pages·1910·2.608 MB·German

by  Jakob Bernoulli, Leonhard Euler, H Linsenbarth (ed.)

QA935
B4 OSTWALD'S KLASSIKER
ENG
DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN.
Nr. 175.
ABHANDLUNGEN
ÜBER
DAS GLEICHGEWICHT UND DIE SCHWINGUNGEN
DER EBENEN ELASTISCHEN KURVEN
VON
JAKOB BERNOULLI
(1691, 1694, 1695)
und
LEONH, EULER
(1744)
WILHELM ENGELMANN IN LEIPZIG
55
L
Abhandlungen
über
das Gleichgewicht und die Schwingungen
der ebenen elastischen Kurven
Von
Jakob Bernoulli (1691, 1694,1695)und Leonh. Euler (1744)
Übersetzt und herausgegeben
von
H. Linsenbarth
Mit 35 Textfiguren
Leipzig
Verlag von Wilhelm Engelmann
1910
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Jakob Bernoulli.
Auszug aus: Acta eruditorum , Leipzig, Juni 1691.
(Opera, Band 1. Genf 1744; Seite 451.)
Bei Gelegenheit der Aufgabe über die Seilkurve sind wir
auf eine andere, ebenso hervorragende Aufgabe gestoßen. Sie
betrifft die Biegungen oder Krümmungen der Balken, der ge
spannten Bogen oder beliebiger elastischer Bänder, die durch
die eigene Schwere, durch ein angehängtes Gewicht oder durch
irgend eine andere zusammendrückende Kraft hervorgebracht
werden. Der sehr berühmte Leibniz hat mich brieflich auf
diese Aufgabe schon aufmerksam gemacht. Wegen der Un
Fig. 1.
B
C
AL
sicherheit der Hypothesen und wegen der großenMannigfal
tigkeit der einzelnen Fälle scheint sie aber schwieriger zu be
handeln zu sein, obgleich es hierbei nicht einer weitschweiligen
Rechnung, sondern nur des Fleißes bedarf. Ich habe aber
durch die Lösung des einfachsten Falles (wenigstens unter der
vorher erwähnten Annahme der Ausdehnung, d. h. daß die
Ausdehnungen den spannenden Kräften proportional sind) in
glücklicher Weise den Zugang zu dieser Aufgabe eröffnet. Wie
jener sehr berühmte Herr (Leibniz) es getan, will ich anderen
1*
4 Jakob Bernouilli, Auszug aus Acta eruditorum.
Zeit lassen, seine Analysis daran zu versuchen 1). Daher werde
ich vorläufig die Lösung zurückhalten und sie in einem Logo
griphen verbergen. DieLösung mit dem Beweise will ich zur
Herbstmesse mitteilen. Wenn ein elastisches Band AB, das
keine Schwere besitzt und überall von derselben Dicke und
Breite ist, am unteren Ende A irgendwo befestigt wird, und
ein Gewicht an das obere Ende B angehängt wird, das aus
reicht, das Band so zu biegen, daß die Richtungslinie BC
des Gewichtes in B zu dem gekrümmten Bande senkrecht ist,
so wird die Krümmung des Bandes von folgender Natur sein:
Qrzumu bapt..
(Die Lösung lautet: Der Teil der Achse zwischen der Or
dinate und der Tangente verhält sich zur Länge der Tangente
selbst wie das Quadrat der Ordinate zu einer gewissen kon
stanten Fläche.]2).
WY wy WWUN
Jakob Bernoulli.
Von der Krümmung des elastischen Bandes. Seine Über
einstimmung mit der Krümmung eines Tuches, das von
dem Gewicht einer eingeschlossenen Flüssigkeit gedehnt
wird. Die Radien der Krümmungskreise in den ein
fachsten Ausdrücken entwickelt und einige andere neue
Lehrsätze.
Auszug aus der Abhandlung: Acta eruditorum, Leipzig,
Juni 1694.
(Opera, Band 1, Genf 1744; Seite 576.]
Nach dreijährigem Schweigen löse ich endlich mein Wort
ein, aber so, daß ich den Leser für den Verzug, den er sonst
nur unwillig ertragen könnte, reichlich entschädige, indem ich
nämlich die Konstruktion der elastischen Linie nicht nur unter
einer einzigen Hypothese, wie ich anfangs versprochen hatte,
sondern allgemein unter einer beliebigen Hypothese über die
Ausdehnungen auseinandersetze. Dies führe ich, wenn ich
nicht irre, zuerst aus, nachdem diese Aufgabe von vielen ver
geblich versucht worden ist. Diese berühmte Aufgabe stammt
nämlich schon aus den Zeiten Galileis, der vermutet hatte,
diese Kurve, wie auch die Seilkurve, sei eine Parabel..
Ich hatte in den Actis eruditorum, 1691, S. 289, gesagt,
dieses Problem sei schwieriger als das der Seilkurve, und nicht
ohne Grund3). Ich will nur bemerken, daß zur Erforschung
der Kettenlinie zwei Wege offen stehen, die zu zwei verschie
denen Gleichungen führen. Der eine drückt die Natur der
Kurve durch eine Beziehung zwischen den Koordinaten aus,
der andere durch eine Beziehung zwischen dem Faden der
Evolvente und diesen Koordinaten. Zur Erforschung der Natur
der elastischen Kurve eröffnet nur der letztere Weg einen
6 Jakob Bernoulli.
Zugang. Daher folgt offenbar, daß es wohl möglich ist, daß
jemand die Schwierigkeiten der ersten Aufgabe überwindet,
aber nicht bei der zweiten als Sieger hervorgeht. Er kann
nämlich den zweiten Weg nicht betreten, der die besagte Be
ziehung des Fadens der Evolvente oder des Radius des Krüm
mungskreises klarlegt, wobei dieser in den einfachsten und rein
differentialen Ausdrücken gegeben sein muß. Dieser Weg war
uns schonzu der Zeit bekannt, als wir uns mit den Über
legungenüber das Seil beschäftigten, und mein Bruder (Johann
Bernoulli] hat ihn auf seinen Reisen schon einigen mitgeteilt.
Inzwischen ist mir der ungeheure Nutzen des Gefundenen bei
der Lösung der Segelkurve und der elastischen Kurve, die
wir jetzt vorhaben, und bei einigen noch erhabeneren mehr
und mehr klar geworden, und es ist jetzt so weit gekommen,
daß ich der Öffentlichkeit den goldenen Lehrsatz nicht länger
vorenthalten will. Weil er bisher den Geometern gefehlt hat,
scheint es, daß sie bei dieser Aufgabe nicht gleich gute Fort
schritte wie bei den früheren gemacht haben.
Bevor ich daher weiter
Fig. 2. gehe, seien in Figur 2 ab, bc
unendlich kleine Teile der
h Kurve, zu denen die Krüm
mungsradien af, bf, die im
Punktefzusammenlaufen,senk
recht stehen. Sie bilden einen
mn Winkel afb, der dem Winkel
gbc gleich ist, den der ver
längerte Teil ab mit dem an
dern bc bildet. Es werdebh
be abgeschnitten. Man ziehe
die Parallelen al, bn, co und
f auch bl, hom, gen. Die er
steren bestimmen die Elemente
der Abszissen, die letzteren
die der Ordinaten oder dx, dy, der usw.). Ich behaupte:
1) Setzt man die Elemente der Kurve ab, bc, d. h. ds ein
ander gleich, so ist (Fig. 2) der Radius des Krümmungskreises
dxds
oder die Länge des Fadens der Evolvente af = % =
day
dy ds ho :
oder auch %= Denn ho : bc (wegen der
d2x bc : hc
Von der Krümmung des elastischen Bandes. 7
Ähnlichkeit der Dreiecke bmh und hoc und auch hcb and abf]
bm : bh al: ab al da
bf: ab af: ab bf x Es ist aber ho = hm 22C=
dly
doc
bl nC= dly; bc ds; also ist Ebenso beweist
ds x
d2x dy.
i q. e. d.
man
ds x
Zusatz: In jeder Kurve, bei der die Elemente einander
gleich gesetzt werden, sind die zweiten Differentiale der Ko
ordinaten den ersten umgekehrt proportional. Da nämlich
dcds: dºg dyds: d2x, so ist dx · d22c dy · dły oder
= X=
d2x dy
auch Dies folgt auch unmittelbar aus der Ähnlich
dly dac
keit der Dreiecke bmh und hoc, denn co (oder dur) verhält
sich zu oh (oder dạy) wie hm zu bm oder wie bl zu al, d. h.
wie dy zu dx.
2) Setzt man die Elemente der Abszissen al, bn, d. h. die
ds3
du einander gleich, so ist der Krümmungsradius af = x =
dcdu
gc : hc
Da gc: bc (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke
= bc : hc -
bng und chg und auch hcb und abf]
bg : bn ab: al ds: da ds2
bf: ab bf: ab % : ds zda
Es ist gc=gn пс bl пс d2x und bc ds, also
dly ds2 ds3
d. h. = i q. e. d.
ds zdoc' dc dºg
Setzt man die dy einander gleich, so wird ähnlich gezeigt,
ds3
daß %= ist.
dyder
Nachdem dies alles vorausgeschickt ist, kehre ich zu der
vorgelegten Aufgabe, die elastische Kurve zu konstruieren,
zurück.
1. Allgemeine Lösung.
Es sei (Fig. 3) ABC ein beliebiges geradlinig oder krumm
linig begrenztes Flächenstück, dessen Abszissen AE die span
nenden Kräfte, und dessen Ordinaten EF die Spannungen dar
8 Jakob Bernoulli.
stellen. Das Quadrat AGDL sei dem Flächenstück ABC
gleich, und in das Quadrat sei über A der Kreisquadrant GKL
beschrieben. Es werde dann ein Rechteck AGHI festgelegt,
das dem beliebig angenommenen Flächenteil AEF gleich sei.
IH schneide den Kreisquadranten in K, man ziehe AK und
dazu die Parallele GM. Auf der Ordinate EF nehme man
EN AM . Alsdann gehört der Punkt N einer Kurve AN
an. Zu dem Flächenstück AEN dieser Kurve bestimme man
ein inhaltsgleiches Rechteck AGOP. Die Geraden O P und EF
schneiden sich in einem Punkt Q,und dieser liegt auf der ge
suchten Kurve AQR. Wenn also ein längerer Reifen, eine
biegsame Rute oder Stange oder irgend ein elastisches Band
ohne Schwere AQRSYVA, von überall gleicher Breite und
Dicke RS, AV, von der Länge RQA mit einem Ende bei
RS vertikal befestigt wird, und wenn an dem andern Ende
AV eine Kraft angreift, oder dort ein Gewicht Z angehängt
wird, das ausreicht, das Band so zu krümmen, daß die Tan
genteinA,nämlichAB, aufderRichtungdes GewichtsAZsenk
recht sei, so wird die konkave Seite des Bandes die Krüm
mung RQA annehmen, die wir konstruiert haben; die konvexe
Seite SyVist ihr parallel, beide besitzen also dieselbe Evolute
mn und können durch Abwicklung derselben Kurve mn bo
schrieben werden.
(Diese Konstruktion gibt Jak.Bernoulli ohne Beweis. In der
mit Erläuterungen versehenen Ausgabe der Werke (Genf 1744,
Band 1, Seite 581) findet sich folgende Begründung hinzuge
fügt: Es sei (Fig.3) Qy = c die Dicke des Bandes; Qq eins
seiner Elemente ds, AP=y, EF= t, AE = x. Das am
Hebelarm AE wirkende Gewicht Z erteilt der elastischen Faser
tds
wy eine Ausdehnung 2y, die gesetzt werden kann =
b
wo b die Länge AR des ganzen Bandes bedeutet. Die ähn
lichen Dreiecke y2Q und qnQ liefern aber die Proportion
2y 9 Q
Qn ist hierin gleich dem Krümmungsradius z des
y Q Qn
dads
Punktes Q, also, wie gezeigt worden ist, Die Propor
dzy
24 ds
tion wird also Setzt man die beiden Werte für
с x
cds tds
Ily einander gleich, so erhält man oder bc= t%,
x b
Von der Krümmung des elastischen Bandes. 9
d. h. bcdly tdocds. Es sei bc a?, dann ist a2dạy tdacds.
Durch Integration entsteht ażdy = ds·Stdx4). Es sei ſtdx =
S = der Fläche AEF. Aus a2dy=ds · S entsteht durch
Quadrieren a'dy2= (da2 + dy2) S2, daher:
Sdx
dy
Va4 - s2
Fig. 3.
Kineal
TensionumMмla
1P
B E A
Elastica
P
3 у
19
H
Curva
D
L
T 3***
S m
n
9
Hierin bedeutet a2 die Fläche ABC, denn für den Punkt
dy
Rist Oo, also muß a4 = S2 sein, d. h.
doc
AB
=fidx=
a2 S= dx = ABC.
10 Jakob Bernoulli.
Die Konstruktion ist jetzt leicht abzuleiten:
Nach Konstruktion ist AG= a; AGDL = a? = Fläche
S
ABC; AGHI Fläche AEF S; daher AI und
a
IK AG
a4 — S2. Da so ist
AI AM
A I.AG as
EN=AM
IK Va4 - S2
Die Fläche AEN ist also
aSdac
Rechteck AGOP= a · AP= ay;
a4-S2
Svara
daher ist
2
Sda Sda
Y oder dy
Va4. S2 Vat- S2
Zusätze: 1. Wird das gebeugte Band RQA statt in R
irgendwo in Q befestigt und der Teil RQ abgeschnitten, so
behält der übrige Teil AQ seine Krümmung bei, wenn er von
derselben Kraft gebeugt wird.
2. Rotiert die Kurve RQA um RZ als Achse, so entsteht
ein anderer, kongruenter, umgekehrt gelegener Teil. Wird das
Band statt in R in dem auf diesem Teil gelegenen Punkt a
befestigt, so behält das verlängerte und von derselben Kraft
gebeugte Band dieselbe Krümmung AQR7 bei.
3. Wenn ein beliebiges Segment AQ der Kurve um die
Normale an rotiert, so entstehe das kongruente, auf der an
dern Seite gelegene Segment aQ. Beide Segmente aQ A bil
den den eigentlichen Bogen, der, wenn in Q ein Halter ange
bracht ist, von zwei in jedem Endpunkt in Richtung der
Normalen wirkenden Kräften gespannt wird. Jede einzelne
Kraft ist der Kraft Z gleich. Dasselbe gilt von den Bögen,
die durch Rotation der ganzen Kurve AQR oder der um das
Stück Rq vermehrten entstehen. Man hat so drei Arten des
Bogens: den verminderten, den vollen, den vermehrten. Diese
Bögen werden so unterschieden: Beim verminderten Bogen