Table Of ContentLAADUNVALVONTA JA
TARKASTUSOTANTA
Keijo Ruohonen
2003
Sisältö
1 I SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT
1 1.1Yleistä
2 1.2x-kartta
7 1.3S-kartta
12 1.4R-kartta
15 1.5Karttojenkäynnistys
16 1.6Yksittäisarvokartat
18 II SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT
18 2.1Yleistä
18 2.2p-kartta
21 2.3c-kartta
24 2.4u-karttajaepämeriittikartta
28 III LIUKUMAKARTAT
28 3.1Yleistä
28 3.2CUSUM-kartta
30 3.3EWMA-kartta
32 3.4Moninkertaisetrajat
34 IV MONIMUUTTUJAKARTAT
34 4.1Yleistä
35 4.2χ2-kartta
36 4.3Hotellinginkartat
37 4.4Altinkartat
39 V KYKYINDEKSIT
39 5.1Yleistä
39 5.2Tavallisimmatkykyindeksit
41 5.3Indeksienestimointijatestaus
45 VI TARKASTUSOTANTA: ATTRIBUUTTIOTANTA
45 6.1Yleistä
45 6.2Kertaotanta
49 6.3KertaotannansuunnitteluOC-käyränavulla
52 6.4Muitakertaotannanperussuureita
54 6.5Dodge–Romig-kaaviot
56 6.6Kaksinkertainenotanta
60 VII TARKASTUSOTANTA: MUUTTUJAOTANTA
60 7.1Yleistä
60 7.2Ala-jayläpuolinentarkastus
62 7.3Kaksipuolinentarkastus
i
ii
65 Liite A: CUSUM- JA EWMA-KARTTOJEN RL- JA
ARL-LUKUJEN NUMEERINEN LASKEMINEN
65 A.1CUSUM-kartta
67 A.2EWMA-kartta
70 Liite B: EPÄKESKISET t-, χ2- JA F-JAKAUMAT.
ˆ
TESTISUUREEN 3C -JAKAUMA
PK
70 B.1Epäkeskinent-jakauma
71 B.2Epäkeskinenχ2-jakauma.χ2-kartanβ
73 B.3EpäkeskinenF-jakauma
74 B.4Testisuureen3Cˆ jakauma
PK
76 Kirjallisuus
77 Hakemisto
Esipuhe
TämämonisteontarkoitettuTTY:nkurssin73163Tilastollinenlaadunvalvontakirjalliseksima-
teriaaliksi. Se sisältää kattavan kokoelman niin perinteisiä kuin uudempiakin laadunvalvon-
takarttoja suunnittelumenetelmineen, kykyindeksejä sekä tarkastusotannan perusmenetelmät.
Esitietonaontavallinentilastomatematiikanperuskurssi.
Laadunvalvontastatistiikka on vanhimpia insinööritilastotieteen alueita. Se pysyi kutakuin-
kin samanlaisena kymmeniä vuosia aina 1980-luvulle asti.1 Silloin Japanista alkanut laatuajat-
telun uusi tuleminen alkoi muuttaa tilannetta. Ehkä enemmänkin kuin mainittu laatuajattelu
alantilastollistaluonnettamuuttivalmistusmenetelmienjamittaustentarkentuminen,näytteen-
otonautomatisoituminenjanäytteidenkäsittelytietokoneilla.Menetelmiäpitivastaavastilaatia
tarkemmiksi—valvomaan pienempiä laadun muutoksia—ja liukumien seuranta tuli tärkeäm-
mäksi.Koskaolihelppoamitatasamallakertaauseitasuureita,monimuuttujakartattulivatkäyt-
töön.Vastaavastivanhatalunperinkäsikäyttööntarkoitetutepätarkatmenetelmätovatkutakuin-
kinjääneetsivuun.Näinonkäynytrobusteillemuttaheikoillejärjestysstatistiikkaanperustuvil-
le kartoille—mm. mediaani-, vaihtelukeskipiste- ja kvartiilivälikartalle—ja näistä suosituinkin,
vaihteluvälikarttaeliR-kartta,onvähitellenjäämässäkäytöstä.
Tarkastusotannassa tämä ilmiö on johtanut sen käytön vähenemiseen. Kun valmistusmene-
telmät ja laadunvalvonta ovat tarkkoja, valmistajan toimittamat tuote-erät ovat riittävän homo-
geenisiajakeskilaatuhyvä.Tarvittavatarkastuskohdistuutoisaaltapieniinvaihteluihin,jolloin
otoksetovatsuuriajakalliita.
Edellä mainitun seurauksena laadunvalvonta- ja tarkastusotantamenetelmät on suunnitelta-
va hyvin, jotta haluttuun tarkkuuteen päästään ekonomisesti. Onkin outoa, että samaan aikaan
ilmestyykirjoja,joissaesitetäänapproksimatiivisia,kiinteisiinparametreihin,pienehköihintau-
lukoihinjajopanomogrammeihin2 perustuviamenetelmiä,ilmansenkummempaamatematiik-
kaataiedesohjelmistojenkäyttöä,esimerkkinävaikkapa MONTGOMERY. Syynäluonnollisesti
on laadunvalvontaa käyttävien suuri määrä ja kirjo. Menetelmien sovittaminen ja ymmärtämi-
nen kuitenkin kärsii tällaisesta, esimerkkinä vaikkapa kykyindeksit, joita paljon käytetään ns.
1Tuon aikakauden parhaita ja perusteellisimpia alan kirjoja on saksalainen SCHINDOWSKI & SCHÜRZ, josta
saamainionkuvankäytetyistämenetelmistäjalaitteista.
2Nomogrammit muodostuvat asteikoista ja käyrästöistä, joista sopivien suorien leikkauspisteiden kautta voi-
daanlukeanumeerisiaarvoja.Niitäeinykyäänjuurinäemuuallakuinlaadunvalvonnankirjoissa.
iii
”six-sigma-filosofiassa”, mutta joiden tilastollinen analyysi on vaativaa. Vastaavasti myöskään
tilasto-ohjelmistoissa valmiina olevat menetelmät eivät aina perustu kyllin tarkkoihin algorit-
meihin.
Tämä moniste on nimenomaan kirjoitettu laadunvalvonnan menetelmien tilastollisen käyt-
täytymisen ymmärtämisen ja niiden tarkan suunnittelun näkökulmasta. Menettelyt toteutetaan
numeerisesti matematiikkaohjelmistoilla Maple tai Matlab, karttaesimerkkejä myös tilasto-oh-
jelmistolla JMP. Mainittakoon, ettei tässä käsitellä laadun suunnittelun menetelmiä, jotka on
lähinnä luettava tilastollisen kokeiden suunnittelun alueeseen, eikä myöskään laatujohtamista.
Näilleonomatkurssinsa.
KeijoRuohonen
Luku 1
SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT
1.1 Yleistä
Valmistettaessa tuotetta valmistusprosessissa on mukana lukuisa joukko satunnaisvaihteluläh-
teitä, jotka aiheuttavat tuotteen laatuun tai/ja laadun tasaisuuteen ”pienen” satunnaisen vaih-
telun. Mikäli muita vaihtelulähteitä ei ole, sanotaan valmistusprosessin olevan kontrolloidun.
Valmistusprosessin joutuessa epäkuntoon joko hitaasti (esimerkiksi kulumalla) tai äkkinäisesti
(satunnainen odottamaton vika) aiheutuu tästä ”suuri” muutos laadussa tai/ja sen tasaisuudessa
japrosessionkontrolloimaton.
Tilastollisen laadunvalvonnan tehtävä on testata toistuvia1 otoksia käyttäen tietyllä var-
muustasolla,ettävaihtelutjohtuvatvaintunnetuistasatunnaistekijöistä,ts.ettäprosessionkont-
rollissa.Tähäntarkoitukseenkäytetäänyleisestins.valvontakarttoja,joillakuvataangraafisesti
prosessintilastollistakäyttäytymistä.
Valvontakartan2 laatimiseksi valmistetuista tuotteista otetaan aika ajoin n tuotteen satun-
naisotos, joista tehdyistä mittauksista lasketaan jokin tilastollinen suure, otoskeskiarvo, otos-
varianssi, tms. Graafisesti ajatellen tämä suure kuvataan otosnumeron funktiona murtoviivana
asteikkoon, johon on piirretty keskiviiva, ylä- ja alarajoja, jms. Yhden tai useamman pisteen
joutuessanäidenrajojenulkopuolellesuoritetaanjokinennaltasovittukorjaavatoimenpide.
Mikälivalmistusprosessionkontrollissa,ontällaisetotoksetkatsottavaotetuksiäärettömäs-
tä populaatiosta, jonka jakauman määräävät em. pienet sallitut satunnaisvaihtelut. Mikäli taas
prosessi on kontrolloimaton, muuttuu jokin ko. jakauman parametri tai ominaisuus. Jos ko. pa-
rametriä ei tunneta, on se estimoitava prosessin ollessa kontrollissa. Testattaessa tällä tavoin
onkoprosessikontrollissavaieivoidaantehdä
I tyypin virhe: Prosessi on kontrollissa, vaikka testi ilmoitti sen olevan kontrolloimaton
(väärähälytys).
tai
IItyypinvirhe:Prosessionkontrolloimaton,vaikkatestiilmoittisenolevankontrollissa.
Näiden virhetyyppien todennäköisyyksiä merkitään vastaavasti α:lla (tai P :llä) sekä β:lla (tai
I
P :lla).Usein1−α:akutsutaanvalvonnanvalikoivuudeksija1−β:asenherkkyydeksi.Prosessin
II
ollessakontrollissatodennäköisyys,ettäx-karttahälyttäär:nnelläotoksella,muttaeisitäennen,
on
(1−α)r−1α
1Tilastollinenlaadunvalvontaonkintodennäköisyydenfrekvenssitulkinnantestipenkkiparexcellence.
2Usein käytetään nimeä valvontakortti, aikanaan (ja vieläkin) käytettiin paksusta kartongista tehtyjä kortteja,
joillekarttalaadittiin.
1
LUKU1. SHEWHARTINMUUTTUJAKARTAT 2
jaodotettavissaolevienotostenlukumääräennenhälytystäelins.ARL3 on
(cid:1)∞
1
ARL = r(1−α)r−1α = .
I
α
r=1
(Kyseessä on geometrinen jakauma, ks. peruskurssit.) Vastaavasti, jos prosessi on kontrolloi-
maton,saadaanARL
1
ARL = .
II 1−β
PerinteisetShewhartinmuuttujakartatovatseuraavat:
tunnus otossuure
x otoskeskiarvo
S otoshajonta
R otosvaihteluväli
Seuraavissapykälissätarkastellaannäitäkarttoja.
1.2 x-kartta
x-kartassaotetaanvalvontaotosx ,x ,...,x jalasketaansenotoskeskiarvo
1 2 n
1
x = (x +···+x ).
1 n
n
Populaatiokeskiarvo µ ja -hajonta σ oletetaan tunnetuiksi—tapausta, jossa ne joudutaan esti-
moimaan,tarkastellaanmyöhemmin.Koskapopulaatioajatellaanäärettömäksi,saadaan(muis-
teleperuskursseista)
σ2
E(x) = µ ja V(x) = ,
n
missä µ on yksittäisen mittauksen odotusarvo ja σ sen hajonta. Eri mittausten oletetaan olevan
riippumattomat.
Kartalle asetetaan valvontarajat. Kartta hälyttää, kun yksikin otoskeskiarvo on rajoilla tai
niidenulkopuolella.Valvontarajatontapanakirjoittaans.k-rajoina(k > 0):
σ
µ±k√ .
n
Huomautus. Toisinaan asetetaan valvottavalle suureelle myös ns. tavoitearvo. Tämän ei tar-
vitse olla sama kuin µ. Kartassa ei µ:n tilalla ole syytä käyttää tätä tavoitearvoa (ellei se satu
olemaan= µ),muutensiihentuleesystemaattinenvirhe.Luonnollisestiprosessiasäädettäessä
pyritäänsaamaanµmahdollisimmanlähelletavoitearvoa.
Perinteinen graafinen esitys x-kartalle on Kuvassa 1 olevan näköinen. Nykyään kartat piir-
retäänluonnollisestitietokoneellajakäytettäväohjelmistomäärääkartanpikkupiirteet,kuvaon
JMP-ohjelmistontekemä.Graafisessaesityksessäonmukanamyösns.keskiviivaµ:nkohdalla.
3ARL=averagerunlength
LUKU1. SHEWHARTINMUUTTUJAKARTAT 3
Variable Control Chart
XBar of Weight
24
23
ht 22
g UCL=22.01
ei
W
f 21
o Avg=20.40
n
a 20
e
M
19 LCL=18.78
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Note: Sigma used for limits based on range.
Kuva1.x-karttavalvontarajoineen(JMP)
Jos n on ”vähääkään isompi”—usein käytännössä jo n = 4 tai n = 5 riittää—on x Kes-
keisen raja-arvolauseen nojalla jakautunut likimain normaalisti odotusarvolla µ ja varianssilla
σ2/n, ja tarkastikin, jos mitattava suure on normaalijakautunut. Näin ollen saadaan (approksi-
matiivisesti)todennäköisyysvalvontasuureenxpysymisellek-rajojenvälillä:
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
σ |x−µ|
1−α = P |x−µ| < k√ = P √ < k = Φ(k)−Φ(−k) = 2Φ(k)−1,
n σ/ n
missä Φ on standardinormaalijakauman kertymäfunktio. Alla taulukossa on eräitä tyypillisiä
valintoja:
k 1−α α
1 0.6827 0.3173
2 0.9545 0.0455
3 0.9973 0.0027
1.645 0.9 0.1
1.96 0.95 0.05
3.09 0.998 0.002
Useinkäytössäonjokinsovittuvakiok:narvo,esimerkiksik = 3(ns.kolmosrajat)taimelkein
vastaavak = 3.09.4
Käytettäessäk-rajojax-kartassaon
α = 2(1−Φ(k)),
jokaeiriipun:stä.Kuvassa2onα:nkuvaajak:nfunktiona.
4Jostain syystä Yhdysvalloissa on vanhastaan käytetty melkein pelkästään kolmosrajoja ja Euroopassa taas
suosittumyöskinvapaampaak:nvalintaa.
LUKU1. SHEWHARTINMUUTTUJAKARTAT 4
1
0.8
0.6
alfa
0.4
0.2
0 1 2 3 4
k
Kuva2.x-kartanα esitettynäk:nfunktiona(Maple)
β:a laskettaessa oletetaan mitattavan suureen odotusarvon olevan µ + ∆σ hajonnan pysyessä
samana. Tässä ∆ (cid:2)= 0 ilmoittaa siirtymän hajontayksiköissä laskettuna. Tämä on tietysti vain
eräs mahdollisuus valmistusprosessin vikaantuessa. Jotta β yleensä ottaen saadaan lasketuksi,
pitää valita jokin ”edustava” tilanne, johon vikaantuminen johtaa. Usein ∆:ksi valitaan (itseis-
arvoltaan)pieninsellainensiirtymä,ettäprosessikatsotaankontrolloimattomaksi.Todellinen∆
voi silloin olla (itseisarvoltaan) isompikin, ja todellinen β vastaavasti pienempi. β riippuu sekä
n:stäettä∆:sta—jatietystik:sta,muttak:hanmääräytyiα:sta:
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
σ σ σ
β = P |x−µ| < k√ = P µ−k√ < x < µ+k√
n n n
(cid:2) √ √ (cid:3)
µ−kσ/ n−(µ+∆σ) x−(µ+∆σ) µ+kσ/ n−(µ+∆σ)
√ √ √
= P < <
σ/ n σ/ n σ/ n
(cid:2) (cid:3)
√ x−(µ+∆σ) √
= P −k −∆ n < √ < k −∆ n
σ/ n
√ √
= Φ(k −∆ n)−Φ(−k −∆ n).
Kuvassa3onβ:nkuvaajapintakolmosrajoille,ns.OC-pinta5.Kuvassa4puolestaanon”poikki-
leikkaus”,missän = 5,eliβ esitettynä∆:nfunktionan:narvolle5,kunk = 3,ns.OC-käyrä5.
5OC=operating-characteristic.
LUKU1. SHEWHARTINMUUTTUJAKARTAT 5
1
0.8
0.6
beta
0.4
0.2
14
12
0 10
–4 8n
–2 6
0
Delta 2 4
4 2
Kuva3.x-kartanOC-pinta(k = 3)(Maple)
Target = 0 LCL = -1.3416407865 UCL = 1.3416407864999 Sigma = 1 Sample Size = 5
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
a
et0.5
B
0.4
0.3
0.2
0.1
LCL UCL
0.0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Process
Probability of not detecting a shift to a given new mean
Kuva4.x-kartaneräsOC-käyrä(k = 3jan = 5)(JMP)
Toisinaan valvontarajat (siis k) määräytyvät toleransseista. Toisaalta toisinaan otoskoko n
on luonnostaan kiinnitetty. Tilastollisesti ajatellen k sekä n valitaan kuitenkin siten, että α ja β
LUKU1. SHEWHARTINMUUTTUJAKARTAT 6
saavat—ainakin likimain tai enintään—annetut arvot, otoskoon n on tietysti oltava kokonaislu-
ku.α:nja/taiβ:nsijastavoitaisiinantaayhtähyvinARL ja/taiARL .Menettelyonseuraava:
I II
1. Valitaank siten,ettäα = 2(1−Φ(k))eli
(cid:4) (cid:5)
α
k = Φ−1 1− .
2
√ √
2. Valitaan sen jälkeen n siten, että β = Φ(k −∆ n)−Φ(−k −∆ n) ja pyöristetään—
mieluumminylöspäin—kokonaisluvuksi.Likimääräisestilaskettaessavoidaantodeta,et-
√ √
∼ ∼
täjosk onvähääkäänisompi,niinΦ(−k −∆ n) = 0jaβ = Φ(k −∆ n)ja
(cid:2) (cid:3)
∼ k −Φ−1(β) 2
n = .
∆
Koska otoskoko on yleensä pieni, voidaan tietysti etsiä n myös kokeilemalla arvoja
n = 1,2,... kunnessaadaankyllinpieniβ.
3. Joskohdan2.n:narvosaadaanpyöristämälläylöspäinkokonaisluvuksi,niintätäkäyttäen
saadaan ”oikea” β, joka on enintään etukäteen ilmoitettu. Mikäli tämä oikea β on paljon
pienempikuinalunperinvaadittiin,voiollasyytäottaakinn:ksiyhtäpienempiluku.
Lause1.1. Yo.menettelyonnistuu,josα+β ≤ 1.
Todistus. Kohta1.onnistuuilmeisestiaina.Merkitään
f(y) = Φ(k −∆y)−Φ(−k −∆y),
jolloin
f(0) = Φ(k)−Φ(−k) = 1−α ja lim f(y) = 0.
y→∞
Toisaaltaderivaatta
df ∆ ∆ 2∆
= −√ e−12(k−∆y)2 + √ e−12(−k−∆y)2 = −√ e−12k2−12(∆y)2sinh(k∆y)
dy 2π 2π 2π
onnegatiivinen,kuny > 0,jotenβ onaidostivähenevän:nfunktiona.
Maple-ohjelmistollasuunnittelutehtäväonhelpostiratkaistavissa:
> with(stats);
[anova,describe,fit,importdata,random,statevalf,statplots,transform]
> alpha:=0.05;
beta:=0.15;
Delta:=1.5;
α:=0.05
β:=0.15
∆:=1.5
> k:=statevalf[icdf,normald](1-alpha/2);
k:=1.959963985
> n:=ceil(fsolve(statevalf[cdf,normald](k-Delta*sqrt(n))-
statevalf[cdf,normald](-k-Delta*sqrt(n))=beta,n));
