Análise Real

148 Pages·2004·1.67 MB·Portuguese

Análise Real
Volume 2
Elon Lages Lima
Rio de Janeiro
9 de março de 2004
Sumário
1 TopologiadoEspaçoEuclidiano 1
1 Oespaçoeuclidianon-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Bolaseconjuntoslimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Conjuntosabertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 SeqüênciasemRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Conjuntosfechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Conjuntoscompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Aplicaçõescontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 Continuidadeuniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10 Conjuntosconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 CaminhosemRn 33
1 Caminhosdiferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Cálculodiferencialdecaminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Aintegraldeumcaminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Caminhosretificáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 FunçõesReaisdenVariáveis 44
1 Derivadasparciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 FunçõesdeclasseC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 OTeoremadeSchwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 AfórmuladeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Pontoscríticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Funçõesconvexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Apêndice: Continuidadedasfunçõesconvexas . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 FunçõesImplícitas 69
1 Umafunçãoimplícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 Hiperfícies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 MultiplicadordeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 AplicaçõesDiferenciáveis 81
ii
1 Aderivadacomotransformaçãolinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 Exemplosdederivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Cálculodiferencialdeaplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 AplicaçõesInversaseImplícitas 92
1 OTeoremadaAplicaçãoInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 VáriasFunçõesImplícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 SuperfíciesDiferenciáveis 104
1 Parametrizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2 Superfíciesdiferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 Oespaçovetorialtangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Superfíciesorientáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 MultiplicadoresdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 IntegraisMúltiplas 120
1 Adefiniçãodeintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2 Conjuntodemedidanula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 Cálculocomintegrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4 ConjuntosJ-mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 AintegralcomolimitedesomasdeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . 134
9 MudançadeVariáveis 139
1 Ocasounidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2 Difeomorfismosprimitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3 TododifeomorfismoC1élocalmenteadmissível. . . . . . . . . . . . . . 143
4 Conclusão: tododifeomorfismodeclasseC1éadmissível . . . . . . . . 144
Capítulo 1
Topologia do Espaço Euclidiano
1 Oespaçoeuclidianon-dimensional
Seja n um número natural. O espaço euclidiano n-dimensional Rn é o produto
cartesiano de n fatores iguais a R : Rn = R × R × ... × R. Seus elementos,
portanto,sãoasseqüências(oulistas)dentermosreaisx = (x ,...,x ). Paracada
1 n
i = 1,...,n,otermox chama-seai-ésimacoordenadadex. Sex = (x ,...,x )
i 1 n
ey = (y ,...,y ),tem-sex = y se,esomentese,x = y ,...,x = y . Assim,
r n 1 1 n n
todaigualdadeentredoiselementosdeRn equivaleanigualdadesentrenúmeros
reais. R1 = Réoconjuntodosnúmerosreais,R2éomodelonuméricodoplanoe
R3éomodelodoespaçoeuclidianotridimensional. Porsimplicidade,adotaremos
ohábitodeescreverz = (x,y)emvezdex = (x ,x )ew = (x,y,z)emvezde
1 2
x = (x ,x ,x ).
1 2 3
Os elementos de Rn às vezes são chamados pontos e às vezes vetores. Es-
te segundo nome se aplica principalmente quando se considerarem entre eles as
operaçõesquedefiniremosagora.
A adição faz corresponder a cada par de elementos x = (x ,...,x ) e
1 n
y = (y ,...,y ) a soma
1 n
x +y = (x +y ,...,x +y ).
1 1 n n
e a multiplicação do número real α pelo elemento x = (x ,...,x ) tem
1 n
como resultado o produto
α·x = (αx ,...,αx ).
1 n
O vetor 0 = (0,0,...,0), cujas coordenadas são todas nulas, chama-se a
origemdeRn. Paratodox = (x ,...,x ),ovetor−x = (−x ,...,−x )chama-
1 n 1 n
seooposto,ousimétricodex. Dadosquaisquerx,y,z ∈ Rneα,β ∈ Rvalemas
2 CAPÍTULO1: TOPOLOGIADOESPAÇOEUCLIDIANO
igualdades
x +y = y +x, x +0 = x, −x +x = 0,
x +(y +z) = (x +y)+z, α(βx) = (αβ)x,
(α+β)x = αx +βx, α(x +y) = αx +αy.
Asegundaeaterceiradelasdizemque0éoelementoneutrodaadiçãoe−x é
oinversoaditivodex.
Os vetores e = (1,0,...,0),e = (0,1,0,...,0),...e = (0,...,1), que
1 2 n
têmumaúnicacoordenadanão-nula,iguala1,constituemabasecanônicadeRn.
Aigualdadex = (x ,...,x )significaquex = x ·e +···+x ·e .
1 n 1 1 n n
Existeaindaumaoperaçãoqueassociaacadapardevetoresx = (x ,...,x ),
1 n
y = (y ,...,y )onúmeroreal
1 n
(cid:2)x,y(cid:3) = x y +···+x y ,
1 1 n n
chamadooprodutointernodex pory.
Parax,y,z ∈ Rn eα ∈ Rquaisquer,tem-se
(cid:2)x,y(cid:3) = (cid:2)y,x(cid:3), (cid:2)x,y +z(cid:3) = (cid:2)x,y(cid:3)+(cid:2)x,z(cid:3),
(cid:2)αx,y(cid:3) = α·(cid:2)x,y(cid:3), (cid:2)x,x(cid:3) > 0 se x (cid:4)= 0.
Segue-seque(cid:2)x+y,z (cid:3) = (cid:2)x,y(cid:3)+(cid:2)x,y(cid:3),(cid:2)x,αy(cid:3) = α(cid:2)x,y(cid:3)e(cid:2)x,0(cid:3) = 0.
Diz-se que os vetores x, y ∈ Rn são ortogonais, e escreve-se x ⊥ y, quando
(cid:2)x,y(cid:3) = 0. Porexemplo,(cid:2)e ,e (cid:3) = 0sei (cid:4)= j.
i j
Umexemplomenostrivialdeortogonalidadeéoseguinte
(cid:2)x,y(cid:3)
(1.1) Seja x ∈ Rn não-nulo. Para todo y ∈ Rn, o vetor z = y − ·x é
(cid:2)x,x(cid:3)
ortogonalax.
(cid:2)x,y(cid:3)
Demonstração. (cid:2)x,z(cid:3) = (cid:2)x,y(cid:3)− ·(cid:2)x,x(cid:3) = 0.
(cid:2)x,x(cid:3)
(cid:2)x,y(cid:3)
Escrevendo y = · x + z, vemos assim que, uma vez dado um vetor
(cid:2)x,x(cid:3)
não-nulo x ∈ Rn, todo vetor y ∈ Rn se escreve como soma de um múltiplo de x
com um vetor ortogonal a x. Esta decomposição é única pois se y = α ·x +z
com z ⊥ x, tomando-se o produto interno de ambos os membr(cid:1)os por x obtem(cid:2)os
(cid:2)x,y(cid:3) = α ·(cid:2)x,x(cid:3),logoα = (cid:2)x,y(cid:3)/(cid:2)x,x(cid:3). Ovetorαx = (cid:2)x,y(cid:3)/(cid:2)x,x(cid:3) x
chama-seaprojeçãoortogonal dey sobre(aretaquecontém)x.
SECTION 1: OESPAÇOEUCLIDIANON-DIMENSIONAL 3
Figura1.
√
Onúmeronão-negativo|x| = (cid:2)x,x(cid:3)chama-seanorma(ouocomprimento)
dovetorx. Sex = (x ,...,x )então
1 n
(cid:3)
|x| = x2+···+x2.
1 n
Por definição, tem-se (cid:2)x,x(cid:3) = |x|2. Quando |x| = 1, diz-se que x é um vetor
unitário. Paratodox (cid:4)= 0,ovetoru = x/|x|éunitário.
(1.2) (TeoremadePitágoras). Sex ⊥ y então|x +y|2 = |x|2+|y|2.
Demonstração. |x +y|2 = (cid:2)x + y,x + y(cid:3) = (cid:2)x,x(cid:3) + 2(cid:2)x,y(cid:3) + (cid:2)y,y(cid:3) =
(cid:2)x,x(cid:3)+(cid:2)y,y(cid:3) = |x|2+|y|2.
(1.3) (DesigualdadedeSchwarz). Paraquaisquerx,y ∈ Rn,tem-se|(cid:2)x,y(cid:3)| ≤
|x|·|y|, valendoaigualdadese, esomentese, umdosvetoresx,y émúltiplodo
outro.
Demonstração. Isto é óbvio se x = 0. Supondo x (cid:4)= 0, podemos escrever y =
αx +z com z ⊥ x e α = (cid:2)x,y(cid:3)/|x|2. Por Pitágoras, |y|2 = α2|x|2 +|z|2, logo
|y|2 ≥ α2|x|2, valendo a igualdade se, e somente se, y = α ·x. Entrando com o
valor de α, vem |y|2 ≥ (cid:2)x,y(cid:3)2/|x|2, ou seja, (cid:2)x,y(cid:3)2 ≤ |x|2 ·|y|2, o que nos dá
|(cid:2)x,y(cid:3)| ≤ |x|·|y|,valendoaigualdadese,esomentese,y = α·x.
Anormagozadasseguintespropriedades:
1. |x| ≥ 0,valendo|x| = 0somentequandox = 0;
2. |α·x| = |α||x|;
3. |x +y| ≤ |x|+|y|.
4 CAPÍTULO1: TOPOLOGIADOESPAÇOEUCLIDIANO
Aúltimadesigualdade,referindo-seanúmerosnão-negativos,equivalea
(cid:1) (cid:2)
|x +y|2 ≤ |x|+|y| 2.
Ora,
|x +y|2 = (cid:2)x +y,x +y(cid:3) = |x|2+2(cid:2)x,y(cid:3)+|y|2
(cid:1) (cid:2)
≤ |x|2+2|x||y|+|y|2 = |x|+|y| 2
pois,emvirtudedadesigualdadedeSchwarz,(cid:2)x,y(cid:3) ≤ |x||y|.
Mais geralmente, qualquer função Rn → R, que associe a cada vetor x ∈ Rn
umnúmero|x|comastrêspropriedadesacima,chama-seumanorma. Anorma
(cid:3)
|x| = x2+···+x2,
1 n
chama-senormaeuclidiana.
Há duas outras normas que poderemos utilizar em Rn quando houver conve-
niência. Elassão
(cid:4) (cid:5)
1. |x| = max · |x |,...,|x | (normadomáximo),
M 1 n
2. |x| = |x |+···+|x | (normadasoma).
S 1 n
As condições que definem uma norma são fáceis de verificar para estas duas.
Tambémésimplesmostrarque,paratodox ∈ Rn,vale
|x| ≤ |x| ≤ |x| ≤ n·|x| ,
M S M
onde|x|éanormaeuclidiana.
Quando,numdeterminadocontexto,estivermosusandoapenasumadasnormas
|x| ou|x| ,podemosindicá-lacomanotação|x|,porsimplicidade.
M S
Paratodanorma,valeadesigualdade
||x|−|y|| ≤ |x −y|.
Comefeito,dex = (x−y)+yresultaque|x| ≤ |x −y|+|y|,logo|x|−|y| ≤
|x −y|.
Trocando os papéis de x e y, obtemos |y| − |x| ≤ |y −x|. Mas |y −x| =
|x −y|,logo|y|−|x| ≤ |x −y|. Conclusão: ||x|−|y|| ≤ |x −y|.
UmanormaemRn dáorigemànoçãodedistância d(x,y)entredoispontos
x,y ∈ Rn. Parax = (x ,...,x )ey = (y ,...,y ),pomos
1 n 1 n
(cid:6)
d(x,y) = |x −y| = (x −y )2+···+(x −y )2.
1 1 n n
As três condições que definem uma norma implicam que d(x,y) tem as pro-
priedadescaracterísticasdeumadistância,asaber:
SECTION 2: BOLASECONJUNTOSLIMITADOS 5
1. d(x,y) ≥ 0,comd(x,y) = 0se,esomentese,x = y;
2. d(x,y) = d(y,x);
3. d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z)(desigualdadetriangular).
Observe que a igualdade |α·x| = |α||x| com α = −1 dá |−x| = |x|, logo
|x −y| = |y −x|. Além disso, |x −z| = |x −y +y −z| ≤ |x −y|+|y −z|,
portantod(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z).
2 Bolaseconjuntoslimitados
Dados o ponto a ∈ Rn e o número real r > 0, a bola aberta de centro a e raio r
éoconjuntoB(a;r)dospontosx ∈ Rn cujadistânciaaopontoa émenorquer.
Emsímbolos:
(cid:4) (cid:5)
B(a;r) = x ∈ Rn;|x −a| < r .
Analogamente, a bola fechada de centro a e raio r é o conjunto B[a;r] assim
definido:
(cid:4) (cid:5)
B[a;r] = x ∈ Rn;|x −a| ≤ r .
Porsuavez,aesferadecentroa eraior éoconjunto
(cid:4) (cid:5)
S[a;r] = x ∈ Rn;|x −a| = r .
Evidentemente,B[a;r] = B(a;r)∪S[a;r].
A bola fechada B[a;r] ⊂ Rn também é chamada o disco n-dimensional de
centroa eraior. Emparticular,odiscoB[0;1]decentro0eraio1échamadoo
discounitáriodeRn.
Umanotaçãoespecialéreservadaparaaesferaunitáriadedimensãon−1:
(cid:4) (cid:5)
Sn−1 = x ∈ Rn;|x| = 1 .
Assim, Sn−1 é a esfera de centro na origem 0 e raio 1. Quando n = 2, S1 é a
circunferênciadecentro0eraio1.
Acima estamos (pelo menos tacitamente) admitindo que a norma adotada em
Rn éaeuclidiana,jáquenãofoifeitamençãoemcontrário. Convém,entretanto,
observarqueaformageométricadasbolaseesferasemRndependedanormaque
se considera. Por exemplo, se tomarmos em R2 a norma do máximo, a “esfera
unitária”éobordodoquadradodecentro0eladosdecomprimento2, paralelos
aos eixos. Ainda em R2, com a norma da soma, o “disco unitário” é o quadrado
cujosvérticessãoospontos(1,0),(0,1),(−1,0)e(0,−1).
6 CAPÍTULO1: TOPOLOGIADOESPAÇOEUCLIDIANO
(a) (b) (c)
Figura 2. O conjunto dos pontos z ∈ Rn tais que |z| ≤ 1, conforme a norma seja (a) a
euclidiana;(b)domáximo,ou(c)dasoma.
Observação. IndiquemoscomasnotaçõesB,B eB respectivamenteasbolas
M S
de centro a e raio r em Rn, relativamente às normas euclidiana, do máximo e da
soma. Seja ainda B(cid:12) a bola de centro a e raio r/n na norma do máximo. As
M
desigualdades|x| ≤ |x| ≤ |x| ≤ n|x| implicamqueB(cid:12) ⊂ B ⊂ B ⊂ B .
M S M M S M
Diz-sequeoconjuntoX ⊂ Rnélimitadoquandoestácontidoemalgumabola
B[a;r]. Como B[a;r] ⊂ B[0;k], onde k = r +|a| (conforme veremos agora),
dizerqueX élimitadoequivaleadizerqueexistek > 0talque|x| ≤ k paratodo
x ∈ X.
Para mostrar que B[a;r] ⊂ B[0;r + |a|], note que |x −a| ≤ r ⇒
|x −a+a| ≤ |x −a|+|a| ≤ r +|a|.
Assim,x ∈ B[a;r] ⇒ x ∈ B[0;r +|a|].
Umaaplicaçãof : X → Rn diz-selimitada quandosuaimagemf(X) ⊂ Rn
éumconjuntolimitado, istoé, quandoexistec > 0 talque|f(x)| ≤ c paratodo
x ∈ X.
Dados a (cid:4)= b em Rn, a reta que une esses dois pontos é o conjunto
ab = {(1−t)a+tb;t ∈ R}. Porsuavez,osegmentoderetadeextremosa,bé
oconjunto[a,b] = {(1−t)a+tb;0 ≤ t ≤ 1}.
Um conjunto X ⊂ Rn chama-se convexo quando o segmento de reta que une
dois quaisquer de seus pontos está inteiramente contido em X. Noutros termos,
dizerqueX éconvexoequivaleaafirmarque
a,b ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ (1−t)a+tb ∈ X.
Exemplo1. Toda bola (aberta ou fechada) é um conjunto convexo. Para fixar
as idéias, consideremos a bola fechada B = B[x ;r]. Dadas a,b ∈ B, temos
0
|a−x | ≤ r e|b−x | ≤ r. Então,paraqualquert ∈ [0,1]valex = (1−t)x +
0 0 0 0
SECTION 3: CONJUNTOSABERTOS 7
tx ,logo
0
|(1−t)a+tb−x | = |(1−t)a+tb−(1−t)x −tx |
0 0 0
= |(1−t)(a−x )+t(b−x )|
0 0
≤ (1−t)|a−x |+t|b−x |
0 0
≤ (1−t)r +tr = r,
(cid:14)
(cid:4) (cid:5)
Exemplo2. Seja X = (x,y) ∈ R2;y ≤ x2 . O conjunto X ⊂ R2 não é
convexo. Com efeito os pontos a = (−1,1) e b = (1,1) pertencem a X mas
1 1
a+ b = (0,1)nãopertenceaX. (cid:14)
2 2
3 Conjuntosabertos
Seja a ∈ X ⊂ Rn. Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto X quando,
para algum r > 0, tem-se B(a;r) ⊂ X. Isto significa que todos os pontos
suficientemente próximos de a também pertencem a X. O conjunto int.X dos
pontosinterioresaXchama-seointeriordoconjuntoX. Evidentemente,int.X ⊂
X. Quandoa ∈ int.X,diz-sequeX éumavizinhançadea.
(cid:4) (cid:5)
Exemplo3. Seja X = (x,y) ∈ R2;y ≥ 0 o semi-plano superior fechado.
Se p = (a,b) com b > 0, então p ∈ int.X. Com efeito, afirmamos que B =
B(p;b) ⊂ X. Istoéclarogeometricamente.
Figura3.