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I Quiz dell'esame di Geometria
Jorge Raul Cordovez
CLVT
Indice
1 Scaldarsi le mani (simulazione) 5
2 Prova Scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 15
3 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 25
4 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 35
5 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 45
6 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 55
7 Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 65
8 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 75
9 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 85
10 Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore 95
11 Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 99
12 Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore 107
3
1
Scaldarsi le mani (simulazione)
Prima Parte (Quiz)
Ql. Nello spazio siano dati il piano a: x + y — z = le la retta
( x = t
r : < y = 2t
[ z = 3t.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) r C a.
(b) Esiste un piano (3 contenente r e parallelo a a.
(c) r interseca a.
(d) r ed a sono perpendicolari.
Q2. Nello spazio sia data la quadrica «2 di equazione
x2 + 2 y2 + 4z = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) cS è un cilindro.
(b) Jèu n cono.
(c) £1 ha punti in comune con il piano di equazione z = 1.
(d) «2 è un paraboloide.
Q3. Si consideri l'applicazione lineare / : R3 —> R3 definita da
f(x, y,z) = (y -z ,z -x ,x - y).
5
6 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) / è iniettiva.
(b) L'immagine Im(/) ha dimensione 2.
(c) / è suriettiva.
(d) Il nucleo ker(/) ha dimensione 2.
Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione
P(t) = (e* + l,0,2f)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) ^ non è regolare;
(b) La retta tangente a fé7 nel punto (2,0,0) è parallela a T+ 2k.
(c) ^ ha vettore tangente nullo in almeno un punto.
(d) fé7 non è piana.
Q5. Siano dati i vettori applicati
u = i — j + 3/c, v = j — 2 fc, = 3?— 6J— 3/c.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) il, iT, sono complanari.
w
(b) w è parallelo a v.
(c) uew formano un angolo acuto.
(d) w è parallelo ad u x v (x indica il prodotto vettoriale).
Q6. Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) = x3 + y3.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) V/(l, 1) = (3,3).
(b) / non è derivabile nell'origine.
(d) Il punto (1,1,1) appartiene al grafico di /.
Q7. Nello spazio sia data la sfera S* di equazione
£2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 2z = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Il centro di 5? è (2,1,1).
1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 7
(b) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, —2).
(C) S? è tangente al piano z — 0.
(d) (0,0,-2) <E SP.
Q8. Siano date le matrici
^ y
¿ = ( 1 —2 1 ), b = i
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) rk(£A) = 2.
(b) BA è invertibile.
(c) rk(BA) = 1.
(d) BA non ha autovalori in R.
Q9. In R4 si considerino i vettori a = (3, -1,2,0), b = (3,0,1, —1) e c = (0, - 2,2,2).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) dim(«5f(a, ò, c)) = 3.
Ob) dim(jS?(a,6,c)) = 2.
(c) a — b + 5c 0 SS (a, b).
(d) Esiste de R4 tale che (a, 6, c, d) sia una base di R4.
Q10. Siano A e Rn n e B e Rn l. Supponiamo che il sistema AX = B sia non omogeneo
e abbia almeno due soluzioni distinte Xi,X2 G Rn l.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Il sistema AX = B ha infinite soluzioni.
(b) La matrice A è invertibile.
(c) Il sistema AX = B non ha altre soluzioni.
(d) Xi — X2 è soluzione del sistema AX = B.
Qll. Sia V un sottospazio di R3.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Esiste un sottospazio W C R3 tale che dim(y + W) = dim(W).
(b) Se dim(y) = 2, esiste un sottospazio W C R3 con dim(W) = 2 tale che V D W
contenga un solo vettore.
(c) Esiste un sottospazio W C R3 tale che V fi W sia vuoto.
(d) Per ogni sottospazio W C R3 l'insieme V fi W contiene infiniti vettori.
8 1 Scaldarsi le mani (simulazione)
-
Q12. Sia data una matrice simmetrica A e R3,3 avente -t(t - 1 )(t - 2) come polinomio
caratteristico.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) 3 è autovalore di A.
(b) Esiste P e R3,3 tale che det(PA) = 1.
(c) A è diagonalizzabile.
(d) A è definita positiva.
Soluzione dei QUIZ
Ql. (a) E' falsa perché t + 2t — 3t = 0 ^ 1.
(b) E' corretta. Basta considerare il fascio di piani & : (-2À — 3 fi)x 4- Xy + \iz = 0 che
contiene la retta r con X = l e fi =
(c) E' falsa. Infatti £ + 2£-3£ = l=>0 = lè assurdo.
(d) E' falsa perché (1,2,3) non è proporzionale con (1,1, —1)
Q2. (a) E' falsa, in quanto l'equazione di £ non ha nessuna variabile libera.
(b) E' falsa, in quanto l'equazione di «=2 non è omogenea.
(c) E' falsa. L'intersezione di £ col piano z = 1 non ha punti reali.
(d) E' corretta. Infatti tagliando =2 ad esempio con i piani x = k, si ottengono delle
parabole. (Più precisamente è un paraboloide ellittico.)
Q3. La matrice associata all'applicazione lineare / è :
che ha rango 2. Per il teorema della dimensione si ha dimKer (/) = dimR3 -
rk(Mf).
(a) E' falsa, infatti dimKer (/) ^ 0.
(b) E' corretta, infatti dimlm(/) = rk(M/) = 2.
(c) E' falsa in quanto dimlm(/) ^ 3.
(d) E' falsa, infatti dimKer (/) = 1.
Q4. Il punto (2,0,0) si ottiene con t = 0. Inoltre P'(t) =
(a) E' falsa. Chiaramente la curva fé7 è regolare, infatti non solo ^ è una funzione
iniettiva, di classe C°° ma / 0, per ogni t.
1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 9
(b) E' corretta, infatti P'(0) =
(c) E' falsa, infatti P'(t) non si annulla per nessun valore t.
(d) E' falsa, infatti giace nel piano y = 0.
Q5. (a) E' falsa. Si ricordi che il prodotto misto fra tre vettori non è nullo se solo se essi
non sono complanari. Si ha
(b) E' falsa perché i vettori (0,1, - 2) e (3, —6, -3) non sono proporzionali.
(c) E' falsa perché il prodotto scalare < (1, - 1,3), (3, - 6, -3) > è zero e i vettori
sono perpendicolari.
(d) E' corretta. Infatti
che risulta essere proporzionale a w.
Q6. (a) E' corretta. Infatti,
(b) E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / in (0,0).
(c) E' falsa in quanto
d2f d2f
w =6y-
(d) E' falsa perché 1 + 1^1.
Q7. L'equazione della sfera 5? la possiamo rappresentare nella forma:
(x + 2)2 + (y + l)2 + (z + l)2 = 6
(a) E' falsa. Infatti il centro è C(—2, —1, - 1)
(b) E' falsa perché d(C, (0,0, - 2)) = \/4+ 1 + 1 = V6.
(c) E' falsa perché d(C, w) = 1 ^ \/6, dove V6 è il raggio di y .
10 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
(d) E' corretta. Basta sostituire le coordinate nell'equazione di y .
Q8. Si ha
B A = 1 V (1 -2
(a) E' falsa. Infatti rk(A) = 1.
(b) E' falsa perché rk(^l) ^ 3.
(c) E' corretta. Lo si vede direttamente del prodotto.
(d) E' falsa. Siccome B A è singolare allora ammette lo zero come autovalore.
Q9. Si consideri la matrice A delle componenti dei vettori. Si fanno alcune trasforma
zioni elementari
/3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\
A= 3 0 1 - 1 - 0 1 -1 -1 ~ 0 1 - 1 - 1
\0 -2 2 2/ \0 -2 2 2/ \0 0 0 0/
(a) E' falsa. Infatti i vettori riga sono dipendenti.
(b) E' corretta. Infatti rk(A) = 2.
(c) E' falsa perché a - b + 5c = (0, —11,11,11) = —11(0,1, -1, -1).
(d) E' falsa perché (a, 6, c) sono dipendenti.
Q10. Si usa il teorema di Rouchè-Capelli.
(a) E' corretta. Il sistema se è compatibile ha soluzione unica, oppure ha infinite soluzioni.
(b) E' falsa. L'invertibilità di A implica soluzione unica per il sistema.
(c) E' falsa. Se la soluzione non è unica, allora il sistema ha infinite soluzioni.
(d) E' falsa perché il sistema non è omogeneo.
Qll. Si ricorda la formula di Grassmann:
dim(V + W) = dim(F) + dim(W^) - dim{V n W)
(a) E' corretta. Basta considerare W = V.
(b) E' falsa. Si supponga dim W = 2 e si avrebbe che dim(Vr D W) > 1.
(c) E' falsa perché V D W contiene almeno il vettore nullo.
(d) E' falsa. Basta considerare W = {(0,0,0)}.
Q12. (a) E' falsa in quanto 3 non è radice del polinomio caratteristico.
1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 11
(b) E' falsa. Usando la Formula di Binet, si ha che det(PA) = det P • det A = 1. Ma
siccome A è una matrice singolare, det A = 0 .
(c) E' corretta. Infatti il polinomio caratteristico di A ha tre radici reali distinte.
(d) E' falsa perché ammette lo zero come autovalore.
12 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
Seconda Parte (Esercizi)
Esercizio 1. Sia data l'applicazione lineare / : R3 -> R3 definita da
f (<2,ò, c) = (ci + ò, 26, — ci -4- b -f- 2c).
(i) Determinare la matrice A e R3,3 di / rispetto alla base canonica di R3.
(ii) Verificare che A è invertibile.
(iii) Determinare gli autovalori di A.
(iv) Determinare gli autospazi di A.
(v) Determinare D,P e R3,3, con D diagonale e P invertibile, tali che P~XAP = D.
Svolgimento dell'esercizio 1.
(i) La matrice associata all'applicazione lineare / rispetto alla base canonica è :
A = M j'^ = | 1 2 0
(ii) Siccome det A = 4(^ 0), allora A è invertibile.
(iii) Gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico:
1 - t 1 0
Pa(ì) = det (A — ti) = 0 2 - t 0
-1 1 2 - t
Gli autovalori di A sono: Ài = 1 con moltiplicità 1 e À2 = 2 con moltiplicità 2.
(iv) Gli autospazi di A sono Va( 1) = Jif((l,0,1)) e Va(2) = -£?((1,1,0),(0,0,1)).
(v) Le matrice Z>, P tale che P~lAP = D, sono:
(1 0 0\ / I l 0'
D= 0 2 0 , P= 0 10
\0 0 2/ \1 0 1
Esercizio 2. Sia data la funzione
f(x,y) = (x - l)(x2 - y2).
(i) Calcolare /(—1,1).
(ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione di
/•
Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = (x - l)(x2 — y2).
(iii) Calcolare un versore normale fi a <S nel punto di coordinate (0, - 1,1).
(iv) Scrivere le equazioni parametriche di una retta contenuta nel piano tangente a S
nel punto di coordinate (0, —1,1).
