Econometrie appliquee

100 Pages·2005·0.7 MB·French

by  Lionel Page

Econométrie appliquée
Maîtrise
sciences économiques
Cours de
Claude Meidinger
Whenever you can, count.
Galton(1822-1911)
2
Table des matières
1 La régressionlinéaire 5
1.1 Leprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Régression linéairesimple . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Regression linèairemultiple . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Mesure(descriptive)delaqualitédel’ajustementlinéaire . . . . . 9
1.3.1 Troisconcepts différentsdelavariationdey . . . . . . . 9
1.3.2 Mesuredelaqualitédel’ajustementlinéaire . . . . . . . 10
1.4 Uneillustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Lamulticolinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Complémentsmathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Représentation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Projection et qualitédel’estimation . . . . . . . . . . . . 17
2 Estimationdes paramètres ettests d’hypothèses.
Principes généraux 23
2.1 Estimation: relations entre les coefficient de régression et les pa-
ramètres théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Leprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Lestestsd’hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Test del’hypothèseβ = 0 :F global . . . . . . . . . . . 33
c
2.2.2 Test del’hypothèseβ = 0 :t-test . . . . . . . . . . . . . 35
k
3 Tests derestriction linéaires etvariablesmuettes 39
3.1 Testsderestrictionlinéairessurlesparamètres du modèle . . . . . 39
3.1.1 Approchegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Applications: testsdechangementstructurel . . . . . . . 44
3
TABLEDESMATIÈRES
4 Les moindres carrés généralisés : Hétéroscédasticité et Autocorréla-
tion 49
4.1 LeprincipedesMCG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Hétéroscédasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Les tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Les remèdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 L’Autocorrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.2 Les testsd’autocorrélationAR(1):ε = ρε +u . . . . 57
t t 1 t
−
4.3.3 Les remèdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Complémentsmathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Endogénéité etvariables instrumentales 65
5.1 Endogénéitédes régresseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Les sources del’endogénéité . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Correction des biais: laméthodedesvariablesinstrumentales. . . 68
5.3 L’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Suridentificationet doublesmoindrescarrés . . . . . . . . . . . . 74
5.5 ComplémentsMathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.1 En régressionsimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.2 En régressionmultiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A Rappels d’algèbre linéaire 83
B Tables statistiques 89
C Introduction àla théorie des probabilités 95
4
Chapitre 1
La régression linéaire
1.1 Le principe
Uneétudeéconométriquec’est :
– un ensemble de propositions concernant certains aspects de l’économie
⇒
spécifiedes relationsentrecertaines variables: modèle
– une investigation empirique destinée à fournir des informations sur les pa-
ramètres des relations fonctionnelles (estimation) et sur la validité de ces
relations(tests)
Pourlemoment:lemodèlelinéaireexprimeunevariabledépendanteycomme
fonctiondeuneouplusieursvariablesindépendantesx ,...,x ,...,x .
1 k K
– exemple1 : (Pindicket Rubinfeld1999)
5 variables : loyer (LOYER), nombre de personnes (NBREpers), nombre
de chambre (NBREch), sexe (Sexe) et distance entre appartement et campus
(DIST).
Ajustementou regressionlinéairedeLOYER surles 4autres variables:
(1.1) LOYER = β +β NBREpers+β NBREch+β Sexe+β DIST
1 2 3 4 5
qui estdu genre:
y = β x +β x +β x +β x +β x
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
avecx1:variableconstante,prenanttoujourslavaleur1,d’où:y = β + 5 β x
1 k=1 k k
S’il n’y a qu’une seule variable explicative(en plus de la constante) on a une ré-
P
gressionlinéairesimple,autrementil s’agitd’unerégressionlinéairemultiple.
– exemple 2 (Pindick et Rubinfeld 1999): dépenses trimestriellesen voitures
neuves(DeVoitN) etsalaires trimestriels(Salaires) (Ex3-3)
5
CHAPITRE1. LARÉGRESSIONLINÉAIRE
DeVoitN = β +β Salaires du type: y = β +β2x
1 2 1 2
Régression linéaire sur un échantillon de n observations pour chaque variable,
i [1,N] : dans le cas devariables y,x ,...,x ,...x cela donneK +1 vecteurs
1 k K
∈
colonnessuivantsdu type: y ,x ,...,x ,...x
1 1 k K
y x x x
1 k K
y 1 x x
1 1k 1K
. . .
. . .
. . . :
y 1 x x
i ik iK
: : : :
y 1 x x
N Nk NK
TAB. 1.1– variablesy et x
i
Et en particulier, la matrice des observations concernant les variables indé-
pendantes est notée X . D’où, étant donnés y et X : calculer les coefficients
(N,K)
derégression,c’est à direles paramètres delarelationlinéaire.
colonnek deX : notéex
k
(lignei deX : notéexi
Soit(β ,β ,...,β ) = β vecteurquelconque,pourl’observationi,oncompare
1 2 K
y et β + K β x , généralement différents, soit e cet écart : e = y β +
i 1 k=2 k ik i i i − 1
K β x L’ajustementparles moindrescarrés consiste à minimiser la somme
k=2 k iPk
descarrés des écarts :
P
2
N K
min y β β x
i 1 k ik
β − − !
i=1 k=2
X X
Calcul des coefficientsdelarégression :
Soit elevecteurdes écarts : e = y Xβ d’où lasommedes carrés desécarts
−
N
ee = e2 = (y Xβ)(y Xβ) = (y β X )(y Xβ) = y y β X y y Xβ+β X Xβ
′ i − ′ − ′− ′ ′ − ′ − ′ ′ − ′ ′ ′
i=1
X
d’où d(e′e) = X y y X+2X Xβ = 2X y+2X Xβ = 0enminimisantcela
dβ − ′ − ′ ′ − ′ ′
donne: X Xβ = X y etlasolution
′ ′
βˆ = (X X) 1X y
′ − ′
6
Econométrie appliquée
y
y
i
b
y = β +β x
1 2 2
y b b
i b b
b
b b b b b b
b
x
2
FIG. 1.1 – Droitederégression
1.2 Interprétation
1.2.1 Régression linéaire simple
y = β +β x
1 2 2
1 x
12
X′X = xx′1 x1 x2 = x1 ...... x1  ... ...  = Nx ixx2i2
(cid:20) ′2 (cid:21) (cid:20) 12 N2 (cid:21) 1 x (cid:20) i i2 Pi i2 (cid:21)
(cid:2) (cid:3) N2
 
  P P
y
1
.
.
.
1 ... 1   y
X y = y = i i
′ x ... x i x y
(cid:20) 12 N2 (cid:21) ...  (cid:20) Pi i2 i (cid:21)
 
 y  P
 N 
 
Donc(X X)β = X y donneunsystèmededeuxéquationsnormales:
′ ′
(1.2) Nβ +( x )β = y ......(1)
1 i2 2 i
i i
 X X
(1.3) ( x )β +( x2 )β = x y ......(2)
 i2 1 i2 2 i2 i
i i i
X X X


(1) en divisant tout par N cela donne β +β x = y donc la droite de régression
1 2 2
passepar(y,x )
2
Si l’onremplaceβ pary β x dans (2)onaalors :
1 2 2
−
7
CHAPITRE1. LARÉGRESSIONLINÉAIRE
(2)( x )(y β x +( x2 )β = x y
i i2 − 2 2 i i2 2 i i2 i
d’où:
P P P
β [ x2 x x ] = x y y x
2 i2 − 2 i2 i2 i − i2
i i i i
X X X X
β [ x2 Nx2] = x y y x
2 i2 − 2 i2 i − i2
i i
X X
β (x x )2 = (x x )(y y)
2 i2 2 i2 2 i
− − −
i i
X X
Soitdonc βˆ2 = PiP(xii(2x−i2x−2)x(2y)i2−y) = SSy222 et βˆ1 = y −β2x2
Interprétation de βˆ :à un diviseur près (par le nombre d’observation-1) Sy
2 2
mesure la covariation entre y et x et le signe de βˆ est déterminé par le sens de
2 2
cettecovariation.
y
b
y = β +β x
1 2 2
b b
y b b
b
b b b b b b
x
2 x
2
FIG. 1.2 –Sens des covariations
LaFigure1.2montrelecasd’unecovariationpositive:lorsquey > y,leplus
i
souventx > x. On adonc:
i
S > 0
y2
1.2.2 Regression linèaire multiple
cas de3 variables:y = β +β x +β x
1 2 2 3 3
x N x x
′1 i i2 i i3
X X = x x x x = x x2 x x matricesymétrique
′  ′2  1 2 3  i i2 Pi i2 Pi i2 i3 
x x x x x2
′3 (cid:2) (cid:3) Pi i3 Pi i3 i2 P i i3
   
P P P
8
Econométrie appliquée
y
i i
X y = x y d’où les troiséquationsnormales suivantes:
′  Pi i2 i 
x y
Pi i3 i
 
Nβ +Pbeta x +beta x = y ...(1)
1 2 i i2 1 i i3 i i
β x +β x2 +β x x = x y ...(2)
 1 i i2 P2 i i2 3 Pi i2 i3 P i i2 i
β x +β x x +β x2 = x y ...(3)
1Pi i3 2Pi i3 i2 P3 i i3 Pi i3 i
de (1) en divisaPnt tout par NPon obtient :β1P+ β2x2 +Pβ3x3 = y donc le plan de
régressionpassepary,x ,x avecβ = y β x β x remplacédans(2)et(3)
2 3 1 2 2 3 3
− −
on a:
β (x x )2 +β (x x )(x x ) = (x x )(y y)
2 i2 2 3 i2 2 i3 3 i2 2 i
− − − − −
i i i
X X X
β (x x )(x x )+β (x x )2 = (x x )(y y)
2 i3 3 i2 2 3 i3 3 i3 3 i
− − − − −
i i i
X X X
Ou encore:
β S +β S = Sy
2 22 3 23 2
(β2S32 +β3S33 = Sy3
Donc les βˆ et βˆ sont fonction des covariations non seulement entre y et (x et
2 3 2
x )maisaussientrex et x .
3 2 3
1.3 Mesure (descriptive) de la qualité de l’ajuste-
ment linéaire
1.3.1 Trois concepts différents de la variation de y
On pose:
K
y = β + β x
i 1 k ik
k=2
X
b b
d’où y = Xb et les résidus sbont les e = y y d’où le vecteur des résidus
i i i
−
e = y Xb.
i
−
– Variatiobntotale: TSS = (y y)2 = S (totalsumof squares)
b i i − yyb
– Variatbionexpliquée:ESS = (y y)2 (explainedsumof squares)
P i i −
– Variation résiduelle : RSS = (y y )2 = (e )2 (residual sum of
P i i − i i i
squares)
b
P P
Ces troisquantitéssontliées parlerésultatfondamental:
b
9
CHAPITRE1. LARÉGRESSIONLINÉAIRE
TSS = ESS+RSS
Démonstration:
Préliminaires : quelques propriétés des résidus. Avec e = y Xβ on a
• −
d’abord:
– X Xβ = X y X Xβ X y = 0 = X (Xβ y) = X be = 0
′ ′ ′ ′ ′ ′
⇒ − − −
d’où, dans le cas d’une régression avec constante : x e = 0 soit encore
′1
eb= 0et donce = 0.b b
i i
– Onaégalement:y = y+eet x y = x y+x e = x y donc: x y =
P ′1 ′1 ′1 ′1 i ′1 i
y
i i P
– CPomme e = y − Xβb= y − X(X′X)−b1X′y = [I −b X(X′X)−1Xb′]y,
soit:e = M .M estunematricesymétriqueidempotente(M2 = M =
y y y y
M M ) b
y′ y
D’où:
•
RSS = e2 = ee = (M )(M ) = y M M y = y M y
i ′ y ′ y ′ y′ y ′ y
i
X
= y [I X(X X) 1X ]y = y y y X(X X) 1X y
′ ′ − ′ ′ ′ ′ − ′
− −
y y y Xβ = y y y y
′ ′ ′ ′
− −
Cette dernière expression est égale à TSS ESS : en effet : TSS ESS =
b − −
(y y)2 (y y)2 = by2 y2 puisque y = y . Or:
i i− − i i− i i − i i i i i i
P y2 =Py y = (Xβ)(XPβ) = β XPXβ = [(X XP) 1X y]PX Xβ
i ′ b ′ ′ ′ b ′ − ′ ′ ′ b
i
X
b = yb′Xb (X′Xb)−1(Xb′X)βb= y′Xbβ = y′y b
D’où
b b
TSS = ESS+RSS b
2
1.3.2 Mesure de la qualité de l’ajustement linéaire
Lecoefficient dedétermination:
ESS
R2 =
RSS
estcomprisentre0et1.Ilreprésentelapart delavariationtotaleexpliquéeparla
régressionlinéaired’où:
ESS = R2TSS
(RSS = TSS ESS = (1 R2)TSS
− −
d’oùles deuxcas extrêmes:
10