Elementi di Finanza, metodi numerici e loro implementazione.

326 Pages·2009·0.9 MB·Italian

Elementi di Finanza, metodi numerici e
loro implementazione.
Marco Airoldi
E–mail:
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Versionedocumento7.5
(cid:176)cMarcoAiroldi
11 novembre 2009
ii
Indice
1 Elementi di programmazione ad oggetti 5
1.1 Introduzione alla programmazione ad oggetti . . . . . . . . . 6
1.2 Il contesto - Elementi base del C++ . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Programmazione procedurale e ad oggetti . . . . . . . 7
1.2.2 Perch´e il C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Tipi variabili fondamentali e concetti base . . . . . . . 9
1.2.4 Input output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Ciclo for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 Costrutto while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.7 Condizione if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.8 Definizione ed utilizzo di una funzione . . . . . . . . . 24
1.2.9 Tipi derivati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.10 Tipi derivati: i puntatori . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.11 Tipi derivati: i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.12 Tipi derivati: le strutture . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2.13 Overloading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2.14 Compilazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.15 Gestione della memoria in C/C++ . . . . . . . . . . . 51
1.3 Programmazione ad oggetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.1 Definizione di una classe . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3.2 Interfaccia di una classe . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3.3 Ereditariet´a di classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.3.4 Composizione di oggetti vs ereditariet´a . . . . . . . . 85
1.3.5 Ridefinizione degli operatori . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.3.6 Esempiodiutilizzodelpolimorfismo, ovveroprogram-
mareriferendosiall’interfacciaenonall’implementazione
specifica.
98
1.3.7 Esempio di utilizzo avanzato del polimorfismo.
125
1.3.8 Design patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
iii
iv INDICE
2 Elementi di finanza 133
2.1 Il contesto - Elementi di finanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.1.1 Tasso di interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.1.2 Il principio del non arbitraggio . . . . . . . . . . . . . 135
2.1.3 Attualizzazione del denaro . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.1.4 Definizione di bond e sua valutazione. . . . . . . . . . 138
2.1.5 Curva dei tassi di interesse . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.1.6 Titoli derivati e opzioni plain vanilla . . . . . . . . . . 139
2.2 Processi stocastici per descrivere le azioni . . . . . . . . . . . 144
2.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.2.2 Il modello random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.2.3 Processi di Wiener e di Ito . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.2.4 Lemma di Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.2.5 Processi di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.2.6 Il processo log normale come modello per le azioni . . 151
2.3 Analisi di Black Scholes per il pricing delle opzioni . . . . . . 154
2.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.3.2 L’argomento di Black & Scholes . . . . . . . . . . . . 154
2.3.3 Il concetto di valutazione neutrale verso il rischio . . . 157
2.3.4 Alberi binomiali ad uno stadio e valutazione neutrale
verso il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.3.5 Soluzione dell’equazione di Black & Scholes . . . . . . 161
2.3.6 Critica all’approccio di Black & Scholes . . . . . . . . 164
2.4 Opzioni esotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4.1 Opzioni asiatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4.2 Opzioni digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4.3 Opzioni con barriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4.4 Opzioni cliquet e reverse cliquet . . . . . . . . . . . . 169
2.4.5 Opzioni lookback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.4.6 Opzioni su basket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.4.7 Definizione generale di opzione . . . . . . . . . . . . . 172
2.4.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.5 Unaformulaapprossimataperlavalutazionediopzioniasiatiche174
3 Metodi numerici per il pricing di opzioni 179
3.1 Metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.1.2 Il metodo Monte Carlo e π . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.1.3 Miglioramenti al metodo Monte Carlo . . . . . . . . . 184
3.1.4 IlmetodoMonteCarlonelcalcolodelprezzodiun’opzione
europea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.2 Alberi Binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.2.1 Gli alberi binomiali nel gioco d’azzardo - esercitazione 194
3.2.2 Introduzione agli alberi binomiali in finanza . . . . . . 194
INDICE v
3.2.3 Alberi Binomiali per un sottostante - metodo di Cox,
Ross e Rubinstein (CRR) . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.2.4 Alberi Binomiali per un sottostante - metodo di Ru-
binstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.2.5 Estensione al caso di due sottostanti correlati . . . . . 197
3.2.6 Alberi Binomiali a piu´ stadi . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.2.7 Alberi Binomiali: vantaggi e svantaggi . . . . . . . . . 200
3.3 Differenze Finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.3.1 Introduzione e schemi di discretizzazione . . . . . . . . 202
3.3.2 Schemi di discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.3.3 Discretizzazione dell’equazione di BS - metodo esplicito204
3.3.4 Convergenza del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.3.5 Esempi di applicazione del metodo delle differenze finite208
3.3.6 Vantaggi e punti deboli del metodo alle differenze finite213
4 Progetto di una libreria in C++ per il “pricing” 215
4.1 Progetto per una libreria finanziaria in C++ . . . . . . . . . 216
4.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.2 Obiettivi della libreria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.3 Avvertenze ed utilizzo delle presenti note . . . . . . . 217
4.1.4 Curva dei tassi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.1.5 Anagrafica bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.1.6 Metodi per il pricing dei bond . . . . . . . . . . . . . 232
4.1.7 Anagrafica e prezzi di azioni. . . . . . . . . . . . . . . 236
4.1.8 Processi stocastici e generazione di cammini . . . . . 244
4.1.9 Anagrafica opzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.1.10 Metodi per il pricing di opzioni . . . . . . . . . . . . . 269
4.1.11 Schema complessivo della libreria (limitatamente al
pricing di opzioni su equity) . . . . . . . . . . . . . . . 278
4.1.12 Schema di flusso per il pricing di un’opzione scritta su
di un sottostante azionario) . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.2 Link in Excel di una libreria C++ . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.2.1 file dll interface.cpp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4.2.2 file module pricing.bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5 Laboratorio ed esercitazioni pratiche 289
5.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.1.2 Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.1.3 Discussione qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.1.4 Obiettivi dell’esercitazione . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.2.2 Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
vi INDICE
5.2.3 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.2.4 Obiettivi dell’esercitazione . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.3.2 Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.3.3 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.3.4 Obiettivi dell’esercitazione . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
5.4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
5.4.2 Definizionedell’opzione“CounterPositivePerformance”304
5.4.3 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.4.4 Obiettivi dell’esercitazione . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.5.2 Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.5.3 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.5.4 Obiettivi dell’esercitazione . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Introduzione
Le presenti note sono nate da una serie di lezioni tenute dal sottoscritto
presso il:
• corso di “Metodi Numerici - Sottomodulo II: Alberi binomiali e dif-
ferenze finite” - “Master in metodologie e modelli per la finanza quan-
titativa”. Universit´a di Milano (Dipartimento di Fisica);
• sottomodulodi“Metodinumericiecalcolostocastico: esempidiappli-
cazione”delcorsodi“MetodiComputazionalidellaFisica”. Universit´a
di Milano (Dipartimento di Fisica).
• sottomodulo di “Programmazione ad oggetti in C++” del corso di
“Metodi Computazionali della Fisica”. Universit´a di Milano (Diparti-
mento di Fisica).
Il materiale presentato ´e comunque ben piu´ ampio di quanto sarebbe
richiesto per un corso di metodi numerici applicati alla finanza ed ´e inteso
a dare allo studente una visione globale ed esaustiva dei concetti base della
finanza quantitativa e dei principali metodi numerici utilizzati al fine del
“pricing”.
Finalit´a
La finalit´a delle presenti note ´e quella di dimostrare come alcuni metodi
sviluppati all’interno della fisica abbiano una vasta gamma di applicazioni
anche in ambiti apparentemente lontani, quali la finanza. In particolare, le
note si focalizzano proprio nell’applicazioni del calcolo stocastico e di alcuni
metodi numerici al pricing di opzioni finanziarie esotiche 1.
Lostudiodellepresentinote,insiemeallapartedilaboratorio,consentir´aallo
studente di acquisire una buona conoscenza sia dei fondamenti della finanza
quantitativa (funzionamento dei titoli derivati piu´ comunemente trattati sul
mercato,processistocasticiecc.) siadeiprincipalimetodinumericiutilizzati
nella determinazione del prezzo dei derivati e sulla loro implementazione in
unalibreriafinanziaria. Suquest’ultimopuntoverr´apostaparticolareenfasi
1Uno degli algoritmi numerici su cui si concentrera´ la nostra attenzione, il metodo
Monte Carlo,´e largamente utilizzato ed applicato in ambito fisico.
1
2 INDICE
in quanto l’aspetto cruciale nell’attivit´a di un quantitativo consiste spesso
nell’implementazione pratica di algoritmi e tecniche numeriche.
Conoscenze necessarie
Si presuppone, nei partecipanti, una conoscenza matematica adeguata ai
temi trattati, nonch´e una conoscenza di base dei fondamenti della program-
mazione ad oggetti, con particolare attenzione al C++.
Struttura delle dispense
Il presente volume si compone di cinque sezioni fondamentali:
• Un capitolo (sezione 1) dedicato ad introdurre i concetti fondamen-
tali della programmazione ad oggetti in C++. Nella parte finale viene
ancheintrodottoilconcettodi“Designpatter”,unatematicapiu´avan-
zata nell’ambito della programmazione ad oggetti e dello sviluppo di
software professionale.
Tale capitolo pu´o essere letto in maniera independente dal resto delle
note o pu´o servire come base di partenza per comprendere lo sviluppo
della libreria descritta nella sezione 4.
• Una parte teorica (sezione 2) il cui scopo ´e quello di introdurre i con-
cetti teorici fondamentali della finanza (tassi di interesse, definizione
di opzione, processi stocastici, formula di Black & Scholes, ecc.).
• Unaparteteoricasulcalcolonumerico(sezione3), incuiverrannopre-
sentate a livello teorico le principali metodologie numeriche utilizzate
nel campo della finanza per il calcolo del prezzo di opzione esotiche
(metodo Monte Carlo, alberi binomiali e differenze finite).
• Una parte applicativa (sezione 4) in cui viene discusso in dettagli la
costruzione di una libreria finanziaria tramite un linguaggio di pro-
grammazione ad oggetti.
• Una sessione di laboratorio (sezione 5) dove vengono proposti diversi
esempiedesercitazionipratichealfineditestaresucasiconcretiquan-
to presentato nel punto precedente.
Bibliografia
Alla fine delle note ´e riportata una breve bibliografia (sia di articoli recen-
temente pubblicati su riviste, sia di libri di testo) che pu´o essere utilizzata
per approfondire gli argomenti trattati in queste note. In particolare un
buon testo di approfondimento sulla finanza, con un deciso taglio economi-
co/finanziario ed un’ottima descrizione degli stumenti finanziari principali
´e il volume di Hull [7]. Un testo piu´ matematico e quantitativo ´e l’ottimo
INDICE 3
volume di Wilmott [8], disponibile anche in una versione piu´ introdutti-
va [9]. Una presentazione delle tematiche riguardanti l’econofisica (ovvero
l’applicazione di alcune tecniche e modelli della fisica all’economia) la si pu´o
trovare in [10].
4 INDICE