Gáspár Csaba, Horváth Zoltán, Lukács Antal: Analízis

624 Pages·2013·3.39 MB·Hungarian

Gáspár Csaba, Horváth Zoltán, Lukács Antal
SZE-MTK, Matematika és Számítástudomány Tanszék
Analízis és differenciálegyenletek
2013
Műszaki és természettudományos alapismeretek
tananyagainak fejlesztése a mérnökképzésben
Pályázati azonosító: TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054
IMPRESSZUM
(cid:13)c COPYRIGHT: Gáspár Csaba, Horváth Zoltán, Lukács Antal
Széchenyi István Egyetem, Mu˝szaki Tudományi Kar, Matematika és Számítástudomány Tanszék
Lektor: Dr. Bolla Marianna, egyetemi docens, Budapesti Mu˝szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Mechanika
Intézet, Sztochasztika Tanszék
(cid:13)c Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)
A szerzo˝ nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon
másolható, terjesztheto˝, megjelentetheto˝ és elo˝adható, de nem módosítható.
ISBN 978-963-7175-91-6
Kiadó: Széchenyi István Egyetem, Mu˝szaki Tudományi Kar
Támogatás:
Készült a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054 számú, "Mu˝szaki és természettudományos alapismeretek
tananyagainak fejlesztése a mérnökképzésben" címu˝ projekt keretében.
Kulcsszavak: analízis, komplex számok, konvergencia, számsorozatok, végtelen sorok, egyváltozós valós
függvények, differenciálszámítás, Taylor-sorok, primitív függvény, Riemann-integrál, közönséges
differenciálegyenletek
Tartalmi összefoglaló: A jegyzet fejezetei: alapveto˝ fogalmak és összefüggések, komplex számok, sorozatok,
sorok, valós függvények, differenciálszámítás, Taylor-sorok, primitív függvények és Riemann-integrál,
közönséges differenciálegyenletek. A jegyzet feltételezi a szokásos középiskolai matematika ismeretét, de arra
nem épít. Mindegyik fejezet utolsó leckéje a fejezet témakörébe vágó feladatokat tartalmaz. Ugyanitt
megtalálhatók a megoldások is (levezetésekkel, útmutatásokkal együtt). A feladatok elo˝tt "Elleno˝rzo˝ kérdések"
cím alatt tesztfeladat-sorozat is található.
Technikai megjegyzések a jegyzet használatához.
Ez a tananyag egy elektronikus jegyzet.
2013-ban, a megjelenés évében annyira elterjedtek az elektronikus tartalomfogyasztásra alkalmas eszközök,
hogy bátran feltételezhetjük: az egyetemisták túlnyomó többsége rendelkezik saját számítógéppel,
tablet-géppel vagy elektronikus könyvolvasóval. A tananyag elektronikus formája sok elo˝nnyel rendelkezik a
nyomtatotthoz képest:
• Aktív tartalmak: az elektronikus változatban belso˝ kereszthivatkozások, külso˝ linkek, mozgóképek, stb.
helyezheto˝k el. A tartalomjegyzék fejezetszámai, az egyenlet- és ábrasorszámok automatikusan belso˝
linket jelentenek, így biztosítják a kényelmes és gyors belso˝ hivatkozást, de a Szerzo˝ tetszo˝leges helyre tud
akár a dokumentum belsejébe, akár egy külso˝ webhelyre mutató linket elhelyezni, ami a szokásos
klikkentéssel aktivizálható.
• Rugalmasság: a nyomtatott könyv statikus, míg az elektronikus jegyzet esetében könnyu˝ hibajavításokat,
frissítéseket alkalmazni.
• Ero˝forrás-takarékosság, környezetvédelem: az elektronikus formában való terjesztés sokkal kisebb
terhelést jelent a környezetre, mint a nyomtatott. Különösen igaz ez, ha a tananyagban sok a színes ábra.
A használt fájlformátum: PDF.
A Portable Document Format az Adobe által kifejlesztett formátum, mely igen széles körben elterjedt. Sok
helyro˝l szerezhetünk be programot, mely a PDF fájok olvasására alkalmas. Ezek egy része azonban nem
tartalmazza a teljes szabvány minden elemét, ezért speciális tartalmak nem, vagy nem pontosan jelenhetnek
meg, ha nem az Adobe olvasóját, az AdobeReader-t használjuk. (Letöltheto˝ innen.)
A legtöbb megjeleníto˝program jól fogja kezelni az alapszöveget, ábrákat és linkeket, de gondok lehetnek a
speciálisabb funkciókkal, pl. a beágyazott dokumentumok kezelésével, az aktív tesztek, kérdo˝ívek
használatával.
A jegyzet képernyo˝n való megjelenítésre lett optimalizálva.
A jelenlegi általánosan elérheto˝ könyvolvasó hardverek mérete és felbontása kisebb, mint a nyomtatott
könyveké és a számítógépek monitorai általában fektetett helyzetu˝ek. Ehhez igazítottuk a formátumot arra
optimalizálva, hogy fektetett kijelzo˝n teljes képernyo˝s üzemmódban lehessen olvasni. Ehhez állítottuk be a
karaktertípust és -méretet valamint azt is, hogy csak kis margót hagyunk, minél több pixelt biztosítva ezzel a
tartalomnak. Azért, hogy teljes képernyo˝s üzemmódban is lehessen navigálni, a margón kis navigáló-ikonokat
helyeztünk el, melyek a megszokott módon kezelheto˝k:
• Lapozás elo˝re és hátra: a függo˝leges oldalak közepén elhelyezett, nyújtott nyilakkal.
• Címoldalra ugrás: kis házikó szimbólum a bal felso˝ sarokban.
• Vissza és elo˝reugrás a dokumentumban: két kicsi szimbólum a bal felso˝ részen. Ezek nem azonosak a
lapozással, hanem a web-böngészo˝k vissza- és elo˝relépéséhez hasonlóan a hiperlinkeken való navigálást
szolgálják.
A jegyzet segítséget nyújt a tanulás ütemezésében.
A megtanulandó tanagyag a szokásos fejezet-alfejezet felosztáson túl leckékre való bontást is tartalmaz. A
leckék különbözo˝ számú alfejezetbo˝l állhatnak, de közös bennük, hogy a Szerzo˝ megítélés szerint egy lecke
„együlto˝ helyben” megtanulható, azaz várhatóan 1–1,5 óra alatt feldolgozható.
A leckék elején rövid leírás található a tárgyalt témakörökro˝l, a szükséges elo˝ismeretekro˝l, a végén pedig
önelleno˝rzo˝ kérdések, melyek sok esetben a PDF fájlban (AdobeReader-rel) aktív tartalomként jelennek meg
feleletkiválasztós teszt, számszeru˝ vagy képletszeru˝ kérdés formájában. Érdemes tehát leckénként haladni a
tanulásban, mert ez segít az ütemezés tervezésében illetve a leckevégi elleno˝rzések segítenek annak
eldöntésében, tovább szabad-e haladni vagy inkább ezt vagy az elo˝zo˝ leckéket kell újra elo˝venni.
Tartalom
1. Bevezetés
1. lecke
2. Alapveto˝ fogalmak és összefüggések
2.1. Halmazelméleti alapok
2.2. Halmazok számossága
2.3. Teljes indukció. Nevezetes azonosságok és egyenlo˝tlenségek 2. lecke
2.4. Valós számok és számhalmazok
2.5. Feladatok 3. lecke
4. lecke
3. Komplex számok
3.1. A komplex számok bevezetése
3.2. A komplex számok algebrai alakja
3.3. A komplex számok trigonometrikus alakja
3.4. Hatványozás és gyökvonás 5. lecke
3.5. Algebrai egyenletek
3.6. Elleno˝rzo˝ kérdések 6. lecke
3.7. Feladatok
7. lecke
4. Valós számsorozatok
4.1. Sorozatok konvergenciája, alapveto˝ tételek
4.2. Korlátos sorozatok, monoton sorozatok
4.3. Cauchy-sorozatok
4.4. Speciális határértékek 8. lecke
4.5. Konvergenciasebességek összehasonlítása
4.6. Elleno˝rzo˝ kérdések 9. lecke
4.7. Feladatok
10. lecke
5. Végtelen sorok
5.1. Végtelen sorok, konvergenciájuk
5.2. Konvergenciakritériumok
5.3. Sorok Cauchy-szorzata 11. lecke
5.4. Az exponenciális sor és az exponenciális függvény
5.5. Elleno˝rzo˝ kérdések 12. lecke
5.6. Feladatok
13. lecke
6. Egyváltozós valós függvények
6.1. Alapfogalmak
6.2. Határérték és folytonosság
6.3. Folytonos függvények tulajdonságai 14. lecke
6.4. Kontrakciók és a Banach-féle fixponttétel
6.5. Néhány nevezetes határérték 15. lecke
6.6. Elemi függvények
6.7. Elleno˝rzo˝ kérdések 16. lecke
6.8. Feladatok
17. lecke
7. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása
7.1. A differenciálhányados
7.2. A derivált kiszámítása
7.3. Néhány elemi függvény deriváltja 18. lecke
7.4. Implicit függvények deriválása
7.5. A differenciálszámítás középértéktételei és alkalmazásai 19. lecke
7.6. Magasabbrendu˝ deriváltak és szélso˝értékfeladatok
7.7. Newton–módszer nemlineáris egyenletek megoldására
7.8. Elleno˝rzo˝ kérdések 20. lecke
7.9. Feladatok
21. lecke
8. Taylor-sorok
8.1. Taylor-polinomok
8.2. Taylor- és Maclaurin-sorok, konvergenciájuk
8.3. Néhány függvény Maclaurin-sora
8.4. A komplex exponenciális függvény. A komplex számok exponenciális alakja
8.5. Elleno˝rzo˝ kérdések 22. lecke
8.6. Feladatok
23. lecke
9. Primitív függvény és Riemann-integrál
9.1. A primitív függvény
9.2. Tippek és trükkök a primitív függvény meghatározására
9.3. A Riemann-integrál 24. lecke
9.4. Az integrálszámítás középértéktétele és a Newton–Leibniz-tétel
9.5. Ívhossz és térfogat 25. lecke
9.6. Improprius integrál
9.7. Elleno˝rzo˝ kérdések 26. lecke
9.8. Feladatok
27. lecke
10. Közönséges differenciálegyenletek
10.1.A valóságtól a differenciálegyenletig. Példák.
10.2.Differenciálegyenletek és mellékfeltételek. Megoldhatóság
10.3.Néhány elso˝rendu˝ közönséges differenciálegyenlet megoldása 28. lecke
10.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek
10.3.2. Változóiban homogén differenciálegyenletek
10.3.3. Elso˝rendu˝ lineáris differenciálegyenletek
10.4.Másodrendu˝ lineáris differenciálegyenletek megoldása 29. lecke
10.5.Kezdeti érték feladatok közelíto˝ megoldása: az Euler-módszer 30. lecke
10.5.1. Az aszimptotikus stabilitás mego˝rzése. Az implicit Euler-módszer
10.6.Elleno˝rzo˝ kérdések 31. lecke
10.7.Feladatok
11. Ajánlott irodalom
1. Bevezetés
A jegyzet a Széchenyi István Egyetem mérnöki BSC-szakos hallgatói számára készült, az analízis tárgy
bevezeto˝ fejezeteit tartalmazza.
Feltételezzük a szokásos középiskolai matematika ismeretét, de arra nem építünk: minden lényeges fogalmat
definiálunk, és az állítások, tételek túlnyomó többségét be is bizonyítjuk. Kivételt csak a nagyon egyszeru˝ és a
nagyon nehéz állítások képeznek: elo˝bbi esetben a bizonyításokat gyakorlásképp az Olvasónak javasoljuk
elvégezni, míg utóbbi esetben a jegyzetben felépített matematikai eszköztár nem elegendo˝ a bizonyításra.
A jegyzet fejezetei: alapveto˝ fogalmak és összefüggések, komplex számok, sorozatok, sorok, valós függvények,
differenciálszámítás, Taylor-sorok, primitív függvények és Riemann-integrál, végül közönséges
differenciálegyenletek.
Ajegyzetleckékrevantagolva. Egy-egyleckeanyagátolyanösszefüggo˝,egytémakörhöztartozóanyagalkotja,
melyet egyetlen alkalommal át lehet tekinteni. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy a tanulás késo˝bbi
fázisaiban a korábbi leckéket már nem kell újra és újra átfutni. Épp ellenkezo˝leg: sokszor a késo˝bbiek
folyamán derül ki igazán egy-egy fogalom, tétel vagy módszer tulajdonképpeni jelento˝sége.
Mindegyik fejezet utolsó leckéje a fejezet témakörébe vágó feladatokat tartalmaz. Ugyanitt megtalálhatók a
megoldások is (levezetésekkel, útmutatásokkal együtt). Ezek tanulmányozása az anyag megértését nagyban
elo˝segíti, de ez semmiképp nem pótolja egy önálló feladatgyu˝jtemény használatát. A feladatok elo˝tt „Elleno˝rzo˝
kérdések”címalattrövidebb-hosszabbtesztfeladat-sorozattalálhatóafejezetbenleírtismeretekelsajátításának
gyors elleno˝rzésére.
Kérjük a tisztelt Olvasókat, hogy véleményüket, megjegyzéseiket, észrevételeiket küldjék el a
[email protected]
e-mail címre.
Eredményes felhasználást kívánnak a szerzo˝k:
Dr. Gáspár Csaba, Dr. Horváth Zoltán, Lukács Antal