Table Of ContentNorbert Henze
Stochastik fUr Einsteiger
Aus dem Programm,_ _____~ I
Mathematik
Karl Bosch
Elementare Einfuhrung in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ulrich Krengel
EinfUhrung in die Wahrscheinlichkeits
theorie und Statistik
Winfried Scharlau
Schulwissen Mathematik:
Ein Uberblick
Andreas Bartholome/Josef Rung/Hans Kern
Zahlentheorie fur Einsteiger
Charles livingston
Knotentheorie fur Einsteiger
Peter Herfort/A rnd Klotz
Ornamente und Fraktale
Albrecht Beutelspacher
Kryptologie
_______________
Vie~eg ~
Norbert Henze
Siochaslik
fur linsteiger
I I
Vleweg
Prof. Dr. Norbert Henze
Fakultat fur Mathematik
Universitat (TH) Karlsruhe
76128 Karlsruhe
E-mail : [email protected]
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1997
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Umschlag: Klaus Birk, Wiesbaden
Gedruckt auf saurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-06894-3 ISBN 978-3-322-87607-2 (eBook)
001 10.1007/978-3-322-87607-2
v
Danksagung
An dieser Stelle mochte ich allen danken, die mir wlihrend der Entstehungsphase
dieses Buches eine unschlitzbare Hilfe waren. Frau Ingrid Voss ,,'IEXte" groBe
Teile des Manuskriptes und war an der Erstellung des Sachwortverzeichnisses so
wie des Symbolverzeichnisses beteiligt. Herr Dipl.-Math. techno Thorsten Wagner
und Herr Dipl.-Math. Heiko Zimmermann steuerten zahlreiche Abbildungen bei
und waren stets mit Rat und Tat zur Stelle. Herr Dipl.-Math. Michael Fichter
lieB uns uneigennutzig von seinem ,,'IEXpertenwissen" profitieren.
Herrn Dr. Martin Folkers verdanke ich zahllose VerbesserungsvorschHige und viele
wert volle biographische Hinweise. Herr Dr. Wolfgang Henn fand trotz eines beling
stigend vollen Terminkalenders noch die Zeit, groBe Teile des Manuskriptes einer
wohlwollenden Kritik zu unterziehen. In tiefer Schuld stehe ich bei Frau Dip\.
Math. Nora Gurtler und bei Herrn Dipl.-Math. Bernhard Klar. Durch grundliches
und schnelles Korrekturlesen und zahlreiche Verbesserungsvorschllige haben beide
einen entscheidenden Anteil daran, dass sich der Abgabetermin beim Verlag nicht
noch weiter verzogert hat.
Meiner Frau Edda und meinen Kindern Martin, Michael und Matthias danke ich
zutiefst fUr ihr Verstlindnis und ihre grenzenlose Geduld. Ihnen ist dieses Buch
gewidmet.
VI
Vorwort
Als weiterer Vertreter der "Einsteiger"-Reihe ist das vorliegende Buch als Lehr
buch zwischen gymnasialem Mathematikunterrricht und Universitat konzipiert.
Es wendet sich damit insbesondere an Lehrer/-innen, Studierende des Lehramtes,
Studienanflinger an Fachhochschulen, Berufsakademien und Universitaten sowie
"Quer-Einsteiger" aus Industrie und Wirtschaft. Durch
• Lernzielkontrollen am Ende der Kapitel,
• mehr als 140 Ubungsaufgaben mit Lasungen und
• ein Symbol-sowie ein ausfiihrliches Sachwortverzeichnis
eignet es sich insbesondere zum Selbststudium und als vorlesungsbegleitender
Text.
Urn den Leser maglichst behutsam in die Stochastik, die Kunst des geschickten
Vermutens, einzufiihren, wurden die mathematischen Vorkenntnisse bewusst so
gering wie maglich gehalten. So reicht fiir die ersten 22 Kapitel abgesehen von
einem Beweis in Kapitel 10 ein Abiturwissen in Mathematik vallig aus. Erst ab
Kapitel 23 (diskrete Wahrscheinlichkeitsraume) wird eine gewisse Vertrautheit
mit Begriffen und Methoden der Analysis vorausgesetzt. Hier kannen die im Li
teraturverzeichnis aufgefiihrten Biicher [HEU] und [WAL] als Nachschlagewerke
dienen.
Der Konzeption dieses Buches liegt die Erfahrung zugrunde, dass die spezifischen
Denkweisen der Stochastik - insbesondere die Erfassung des Wahrscheinlich
keitsbegriffes - den Studierenden anfangs groBe Schwierigkeiten bereiten. Hinzu
kommt das "harte Geschiift" der Modellierung zufallsabhangiger Vorgiinge als
ein wichtiges Aufgabenfeld der Stochastik. Da die Konstruktion geeigneter Mo
delle im Hinblick auf die vielf1iltigen Anwendungen der Stochastik von Grund auf
gelernt werden sollte, nimmt der Aspekt der Modellbildung einen breiten Raum
ein. Hier mag es trasten, dass selbst Universalgelehrte wie Leibniz oder Galilei bei
einfachen Zufallsphiinomenen mathematische Modelle aufstellten, die sich nicht
mit den gemachten "Beobachtungen des Zufalls" in Einklang bringen lieBen. Urn
dem Einiiben stochastischer Modellbildung ohne Verwendung fortgeschrittener
mathematischer Techniken geniigend Raum zu lassen, wurde bewusst auf die Be
handlung stetiger Verteilungsmodelle verzichtet.
VII
1m Gegenzug habe ich groBen Wert auf die Motivation der Begriffsbildungen und
auf die Diskussion von Grundannahmen wie z.B. die" Unabhangigkeit und Gleich
artigkeit von Versuchen" gelegt. Ausfiihrlich werden die Modellierung mehrstufi
ger Experimente sowie der Zusammenhang zwischen Ubergangswahrscheinlichkei
ten und den oft nur stiefmiitterlich behandelten bedingten Wahrscheinlichkeiten
besprochen. Auch in den beiden letzten Kapiteln iiber Schatz-und Testprobleme
habe ich versucht, keine Rezepte zu vermitteln, sondern prinzipielle Vorgehens
weisen der SchlieBenden Statistik anhand elementarer Beispiele zu verdeutlichen.
Einige kritische Anmerkungen zum Testen statistischer Hypothesen entspringen
einer langjahrigen Erfahrung in der statistischen Beratung.
Eine Reihe paradoxer Phanomene diirfte nicht nur im Schulunterrricht zu anre
genden Diskussionen und zur Beschiiftigung mit mathematischer Modellierung
fUhren. Hierzu gehiiren u.a. das Ziegenproblem (Kapitel 7 und 16), das Parado
xon der ersten Kollision (KapiteIU; das Phanomen der ersten Gewinnreihenwie
derholung im Zahlenlotto kiinnte ein "Klassiker" werden), Simpsons Paradoxon
(Kapitel 16 und Kapitel 22), das Zwei-Jungen-Problem (Kapitel 16) und das
haufig auch als Coupon-Collector-Problem oder Problem der vollstandigen Serie
bekannte Sammlerproblem (Kapitel 24).
Was beim ersten Durchblattern dieses Buches auffallt, ist ein haufiger Wechsel
zwischen einem (hoffentlich) angenehm zu lesenden Prosastil und dem in der Ma
thematik gewohnten " Definition-Satz-Beweis-Schema" . Dieser Wechsel ist fUr die
Stochastik typisch. Stochastik ist - wenn man sie nicht auf die Mathematische Sto
chastik reduziert - kein Teilgebiet der Mathematik, sondern eine interdisziplinare
Wissenschaft mit vielfiiltigen Anwendungen, deren formale Sprache die Mathema
tik ist. Denjenigen, die an der Entstehungsgeschichte dieser Wissenschaft inter
essiert sind, werden vermutlich die zahlreichen biographischen Hinweise und die
angegebenen lnternet-Adressen von Nutzen sein. Weitere einschlagige lnternet
Adressen sind unter meiner Homepage http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de
;-stoch/Mitarbeiter/ henze.html abrufbar.
Steigen Sie ein in die faszinierende Welt des Zufalls!
Karlsruhe, im Marz 1997
VIII
Inhaltsverzeichnis
o Einleitung 1
1 Zufallsexperimente, Ergebnismengen 3
2 Ereignisse 7
3 Zufallsvariablen 12
4 Relative Haufigkeiten 18
5 Grundbegriffe der deskriptiven Statistik 23
6 Endliche Wahrscheinlichkeitsraume 39
7 Laplace-Modelle 48
8 Elemente der Kombinatorik 54
9 Urnen- und Teilchen/Facher-Modelle 62
10 Das Paradoxon der erst en Kollision 67
11 Die Formel des Ein- und Ausschliel3ens 72
12 Der Erwartungswert 78
13 Stichprobenentnahme: Die hypergeometrische Verteilung 84
14 Mehrstufige Experimente 88
15 Das P6lyasche Urnenschema 95
16 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 98
17 Stochastische Unabhangigkeit 116
18 Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen 129
19 Die Binomialverteilung und die Multinomialverteilung 140
IX
20 Pseudozufallszahlen und Simulation 153
21 Die Varianz 158
22 Kovarianz und Korrelation 164
23 Diskrete Wahrscheinlichkeitsraume 178
24 Wartezeitprobleme 183
25 Die Poisson-Verteilung 192
26 Gesetz groBer Zahlen 198
27 Zentraler Grenzwertsatz 202
28 Schatzprobleme 215
29 Statistische Tests 239
Nachwort 262
Tabelle der standardisierten Normalverteilung 263
Losungen ausgewahlter Aufgaben 264
Literaturverzeichnis 279
Symbolverzeichnis 282
Sachwortverzeichnis 284
1
o
Einleitung
Welch ein Zufall! sagen wir haufig, urn unserer Verwunderung iiber ein als "un
wahrscheinlich" erachtetes Ereignis Ausdruck zu geben. Der Zufall fiihrt Regie
bei den wochentlichen Ziehungen der Lottozahlen, und er steht Pate bei Spie
len wie Mensch-iirgere-Dich-nicht! oder Roulette, wobei Zufall meist mit Gliick
(Gliicksg6ttin Fortuna) oder Pech (Pechvogel, Pechstriihne) verbunden wird. Urn
allen Mannschaften die "gleiche Chance" zu sichern, werden die Spielpaarun
gen des Pokalwettbewerbs des Deutschen FuBbalibundes (DFB-Pokal) vor jeder
Runde unter den noch verbliebenen Mannschaften durch das Los bestimmt, d.h.
durch die "hahere Gewalt des Zufalls" festgelegt. Neuerdings entscheidet das Los
sogar bei strittigen Fragen iiber das Abstimmungsverhalten im Bundesrat (so be
schlossen bei den Koalitionsverhandlungen 1996 in Rheinland-Pfalz).
Das Wort Stochastik steht als Sammelbegriff fiir die Gebiete Wahrscheinlichkeits
theorie und Statistik und kann kurz und pragnant als "Mathematik des Zufalls"
bezeichnet werden. Dabei wollen wir im folgenden nicht iiber die Existenz ei
nes "Zufalls" phi!osophieren, sondern den pragmatischen Standpunkt einnehmen,
dass sich gewisse Vorgange wie die Ziehung der Lottozahlen einer deterministi
schen Beschreibung entziehen und somit ein stochastisches Phanomen darstellen,
wei! wir nicht genug fiir eine sichere Vorhersage wissen. Wir lassen hierbei offen,
ob dieses Wissen nur fiir uns in der speziellen Situation oder prinzipiell nicht
vorhanden ist.
Stochastische Begriffsbi!dungen begegnen uns im taglichen Leben auf Schritt und
Tritt. So verspricht uns der lokale Wetterbericht fUr den morgigen Tag eine Regen
wahrscheinlichkeit von 70 Prozent, und Jurist(inn)en nehmen einen Sachverhalt
mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit an, wenn sie ihn als "so gut
wie sicher" erachten. Wir lesen, dass die Uberiegenheit einer neuen Therapie zur
Behandlung einer bestimmten Krankheit gegeniiber einer Standard-Therapie sta
tistisch auf dem 5% Niveau abgesichert sei. Diese Formulierung mag (und soli es
vielfach auch) beeindrucken; sie wird aber den meisten von uns nicht viel sagen.
Es werden uns Ergebnisse von Meinungsumfragen prasentiert, die eine statisti
sche Unsicherheit von einem Prozent aufweisen sollen. Auch hier interpretieren
wir diese "statistische Unsicherheit" - wenn iiberhaupt - meist falsch.
Ziel dieses Buches ist es, dem Leser einen erst en Einstieg in die faszinierende Welt
des Zufalls zu vermitteln und ihn in die Lage zu versetzen, stochastische Phano-
N. Henze, Stochastik für Einsteiger
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1997
