Tensorrechnung für Ingenieure

319 Pages·1987·7.665 MB·German

by  Dr.-Ing. Josef Betten (auth.)

Josef Betten
Tensorrechnung fOr Ingenieure
Leitfaden der angewandten
Mathematik ond Mechanik
Unter Mitwirkung von
Prof. Dr. G. Hotz, Saarbriicken
Prof. Dr. P. Kall, Zurich
Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, Munchen
Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt
herausgegeben von
Prof. Dr. Dr. h. c. H. Gortler, Freiburg
Band 64
B. G. Teubner Stuttgart
Tensorrechnung
ffir Ingenieure
Von Dr.-Ing. Josef Betten
Professor an der Techn. Hochschule Aachen
Mit 45 Bildern, 7 Tabellen, 220 Obungsaufgaben
und vollstandig ausgearbeiteten L6sungen
B. G. Teubner Stuttgart 1987
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Betten
Abitur 1958. Ein Jahr Praktikum bei KHD, Koln, MWM, Mannheim, FRISTEIN,
Paderborn. Von 1958 bis 1964 Studium des Maschinenbaus an der Technischen
Hochschule Aachen. Von 1964 bis 1968 Industrietlitigkeit bei der Rheinischen
Walzmaschinenfabrik in Koln. Von 1968 bis 1970 wiss. Mitarbeiter und wiss. As
sistent an der RWTH Aachen. Promotion 1968 unmittelbar nach der Industrietli
tigkeit, 1970 Lehrauftrag in "Mathematische Modelle in der Werkstoffkunde".
1971 Habilitation an der Fakultlit fUr Maschinenwesen der RWTH Aachen. 19701
1972 Akademischer Rat! Akademischer Oberrat. 1973 Ernennung zum apl. Pro
fessor. 1977 Ernennung zum Studienprofessor. 1980 Berufung als Ordentlicher
Universitlitsprofessor an die TU Graz fur Mechanik. 1981 Ernennung zum beam
teten Professor an der RWTH Aachen. 1987 Ernennung zum Univ.-Prof. an der
RWTH Aachen.
Arbeitsgebiete: Tensorrechnung, Kontinuumsmechanik (Elasto-, Plasto- und
Kriechmechanik)
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Betten, Josef:
Tensorrechnung fiir Ingenieure I von Josef
Betten. - Stuttgart : Teubner, 1987
(Leitfliden der angewandten Mathematik und
Mechanik ; Bd. 64)
ISBN 978-3-322-99338-0 ISBN 978-3-322-99337-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99337-3
NE:GT
Das Werk einschliel3lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung au13er
halb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzuliissig
und strafbar. Das gilt besonders fOr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und
die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1987
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1987
Gesamtherstellung: Zechnersche Buchdruckerei GmbH, Speyer
Vorwort
Die Tensorrechnung entstand urn die Jahrhundertwende und wurde von den
italienischen Mathematikern RICCI und LEVI-CIVITA, die Schuler von RIE
MANN und CHRISTOFFEL waren, begrundet [1J. Die bekannteste physikalische
Anwendung erfuhr die Tensorrechnung in der Relativitatstheorie [2,3J.
Weitere Anwendungsgebiete sind z.B. die Differentialgeometrie [2,4J und
die Kontinuumsmechanik [2,5 bis 10J.
In den letzten Jahren dringt der Tensorkalkul immer starker auch in
die technische Literatur vor, so daB kunftig die Tensorrechnung zum ma
thematischen Rustzeug des Ingenieurs geh6ren wird, etwa wie lineare Alge
bra, Matrizenrechnung, Infinitesimalrechnung oder die "Methode der fini
ten Elemente", die in vie len Konstruktionsburos schon seit einigen Jahren
zum alltaglich benutzten Werkzeug des Ingenieurs zahlt.
Der Zweck des vorliegenden Buches besteht darin, den Studierenden
ingenieurwissenschaftlicher Fachrichtungen, Doktoranden und auch bereits
in der Praxis tatigen Ingenieuren zur Erleichterung des Literaturstudiums
ein Hilfsmittel zu geben. Zur Festigung des Stoffes werden an gegebenen
Stellen Ubungsaufgaben eingeblendet, deren L6sungen im Anhang ausgearbei
tet sind.
Der mit den Namen RICCI und LEVI-CIVITA verbundene Begriff des "abso
luten Differentialkalkuls" wird in diesem Buch nicht behandelt. Als Ein
fuhrung in die Tensorrechnung werden aIle Rechenoperationen in rechtwink
lig CARTESIschen Koordinaten durchgefuhrt, d.h., es werden CARTESIsche
Tensoren besprochen. Hiervon ist Teil E ausgenommen, in dem allgemeine
Koordinatensysteme zugrunde gelegt werden.
Der Inhalt des vorliegenden Buches (mit Ausnahme von Teil E) ent
spricht etwa dem Stoff meiner Lehrveranstaltung "Tensorrechnung fur Inge
nieure I", die ich seit mehr als 15 Jahren jeweils im Wintersemester fur
Studierende des Studienganges "Grundlagen des Maschinenwesens" (5. Seme
ster) an der RWTH Aachen halte. Allgemeine krummlinige Koordinaten (Teil
E) und der erwahnte "absolute Differentialkalkul" sind Gegenstand meiner
Sommervorlesungen und Ubungen in "Tensorrechnung fur Ingenieure II".
Gegenuber einer fruheren Ausgabe [llJ wurden einige Ziffern gekurzt,
urn Raum zu schaffen fur neuere Ergebnisse. Auch wurden aufgrund der in
den Vorlesungen gewonnenen Erfahrungen manche Darstellungen verbessert;
einige muBten erweitert und anschaulicher herausgestellt werden, wahrpnd
andere kurzer gefaBt werden konnten. Zusatzlich wurden zwei neue Teile
(D und E) aufgenommen, zu denen aus Platzgrunden keine gesonderten
Ubungsaufgaben gebracht werden konnten. Allerdings enthalten sie zur Il
lustration genugend Anwendungsbeispiele.
- 6 -
Teil D (Tensorfunktionen) basiert auf Vorlesungen, die ich im Juli
1984 in Udine (CISM) und im Juli 1986 in Bad Honnef (Physikzentrum) ge
halten habe. An diesen Veranstaltungen waren als Vortragende auch meine
Kollegen BOEHLER (Grenoble), RIVLIN (Bethlehem, U.S.A.) und SPENCER (Not
tingham) beteiligt. Die "Lecture Notes" sind in [12] veroffentlicht.
Die wohl wichtigste Anwendung der Darstellungstheorie von Tensorfunk
tionen liegt im Aufstellen von Stoffgleichungen (constitutive equations) .
Im Hinblick auf den zunehmenden Einsatz von Werkstoffen, die sich nicht
linear elastisch und nicht isotrop verhalten oder bei denen groBe Verfor
mungen auftreten, sind die Tensorfunktionen von grundlegender Bedeutung
fur die Kontinuumsmechanik, in der auch nicht-newtonsche Fluide [13,14]
behandelt werden.
Allen Rezensenten und Lesern, die sich die Muhe gemacht haben, mein
fruheres Buch [11] zu begutachten, mochte ich danken. Ihre Bemerkungen
habe ich weitgehend berucksichtigen konnen. Mein Dank gilt auch den Stu
denten meiner Vorlesungen, deren Kritik fur mich besonders wichtig und
aufschluBreich ist.
Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau M. VOLLSTEDT, die mit uner
mudlicher Sorgfalt und groBem Geschick die reproduktionsreife Vorlage er
stellte. GleichermaBen mochte ich Herrn A. HERBST, dem Leiter des Zei
chenburos, danken, der die Bilder und Tabellen sorgfaltig und terminge
recht angefertigt bzw. koordiniert hat.
Dem Teubner-Verlag, insbesondere Herrn Dr. P. SPUHLER, sei gedankt fur
die bereitwillige Aufnahme meines Manuskriptes und die gute und verstand
nisvolle Zusammenarbeit. Ferner mochte ich meinem Kollegen, Herrn Prof.
Dr. E. MEISTER, fur seine wertvollen Ratschlage danken.
Aachen, Marz 1987 Josef Betten
Inhaltsverzeichnis
11
12
1 Vektoren (Tensoren erster Stufel und einfache Vektoroperationen 12
1.1 Zum Vektorbegriff, Norm und Skalarprodukt 12
1.2 Lineare Abhangigkeit von Vektoren 20
1.3 Transformationsverhalten von Vektoren 22
2 Dyaden (Tensoren 2-ter Stufel 25
2.1 Transforrnationsverhalten 26
2.2 Transforrnationsmatrix und Substitutions tensor 28
2.3 Tensorquadrik, Deviator und Kugeltensor 34
2.4 Operatoreigenschaft eines Tensors 2-ter Stufe 38
3 Hauptachsen eines syrnrnetrischen Tensors 2-ter Stufe 40
3.1 Zerlegungen eines Tensors 2-ter Stufe 40
3.2 Charakteristische Gleichung eines Tensors 2-ter Stufe 44
3.3 Invarianten eines Tensors 2-ter Stufe und seines Deviators 55
4 Tensoren hoherer Stufe 64
4.1 Transformationsverhalten 66
4.2 Schiefsyrnrnetrische Tensoren, Alternierung 68
4.3 Der E-Tensor und das e-System 73
4.4 Isotrope Tensoren 92
4.5 Eigenwertproblem eines Tensors 4-ter Stufe 97
5 Zusarnrnenstellung einfacher Tensoroperationen 103
5.1 Multiplikation mit einem Skalar 104
5.2 Addition 104
5.3 Multiplikation 104
5.4 Verjungung und Uberschiebung 105
5.5 Potenzieren von Tensoren 108
5.6 Isomerenbildung 118
120
6 Zur Darstellung und Differentiation von Tensorfeldern 120
6.1 Der Feldbegriff 120
6.2 Nablakalkul fur Tensorfelder 128
6.3 Zeitableitungen von Tensorfeldern 135
6.4 Der Deforrnationsgradient und seine pol are Zerlegung 143
- 8 -
7 Integralsatze 149
7.1 Der FluB eines Vektor- und Dyadenfeldes durch eine Flache 150
7.2 Der GAUSSsche Integralsatz 151
7.3 Der STOKESsche Integralsatz 156
160
8 Skalarwertige Tensorfunktionen; Invariantentheorie 160
8.1 Integritatsbasis fur Tensoren 2-ter Stufe 161
8.2 Vereinfachtes charakteristisches Polynom fur Tensoren 4-ter
Stufe 165
8.3 Anwendung des HAMILTON-CAYLEYschen Theorems auf Tensoren
4-ter Stufe 167
8.4 Konstruktion von Simultaninvarianten 170
8.5 Erweitertes charakteristisches Polynom eines Tensors 4-ter
Stufe 173
9 Tensorwertige Funktionen 177
9.1 Darstellung durch Superposition 181
9.2 Symmetrischer und nicht-symmetrischer Argumenttensor 2-ter
Stufe 183
9.3 Trennung der Tensor-Veranderlichen 184
9.4 Darstellung uber Hilfstensoren 186
10 Interpolationsmethoden fur tensorwertige Funktionen 189
10.1 Tensorwertige Funktionen mit einem Argumenttensor 191
10.1.1 Interpolation in Anlehnung an LAGRANGE 191
10.1.2 Interpolation in Anlehnung an NEWTON 193
10.1.3 Vergleich der beiden Interpolationsformeln 194
10.2 Tensorwertige Funktionen mit zwei Argumenttensoren 195
10.2.1 Interpolation in Anlehnung an LAGRANGE 195
10.2.2 Interpolation in Anlehnung an NEWTON 197
10.2.3 Vergleich der beiden Interpolationsformeln 199
10.3 Konfluente Stutzstellen 200
10.4 Anwendungsbeispiele 202
10.4.1 Wurzelziehen aus Tensoren 202
10.4.2 Tensorielle Darstellung transzendenter Funktionen 203
10.4.3 Tensorielle Verallgemeinerung des NORTON-BAILEYschen
Kriechgesetzes 204
10.4.4 Beispiel mit zwei Argumenttensoren 208
10.4.5 Tensorielle Verallgemeinerung der RAMBERG-OSGOOD-Beziehung 211
10.4.6 Tensorielle Darstellung elastisch-plastischer tibergange 212
- 9 -
11 Einige Grundlagen zur Tensorrechnung in allgemeinen Koordinaten 214
11.1 Basisvektoren, Metriktensoren 215
11.2 Zur Darstellung von Vektoren und Tensoren 218
11.3 CHRISTOFFEL-Syrnbole 220
11.4 Kovariante Ableitung mit Anwendungen 221
11.5 Irreduzible Invarianten 225
12 Konforme Abbildungen 225
12.1 Holomorphe Funktionen 227
12.2 Isotherrnennetze 231
12.3 Ausweichstromung mit Zirkulation 235
12.4 Uberlagerung einer Parallelstromung mit Quelle und Senke 238
241
301
306
- 11 -
A Einleitung
Viele geometrische und physikalische GroBen haben einerseits vom zu
grundegelegten Koordinatensystem unabhangige Bedeutungen, andererseits
kann man ihnen in jedem Koordinatensystem "MaBzahlen" (Tensorkoordinaten)
zuordnen, die bei Transformationen des Koordinatensystems ganz bestimmten
Transformationsgesetzen gehorchen. SOlche GroBen bezeichnet man als Ten
~. Man unterscheidet Tensoren O-ter, erster, 2-ter und hoherer Stufe,
allgemein Tensoren v-ter Stufe. In der klassischen Form werden diese
GroBen als Skalare, Vektoren, Dyaden, Triaden etc. bezeichnet. Die allge
meine Bezeichnung Tensor geht auf den Spannungstensor (tendere = spannen)
zuruck, einer Dyade, die in der Kontinuumsmechanik eine fundamentale Rol
le spielt.
Die Untersuchung solcher GroBen auf ihr Transformationsverhalten hin
in allgemeinen Koordinatensystemen, die schiefwinklig und/oder krummlinig
sein konnen, fuhrt zum allgemeinen Tensorkalkul. 1m vorliegenden Buch
wird mit Ausnahme von Kapitel E der Tensorbegriff in sehr einfacher und
elementarer Weise behandelt, und zwar wird der dreidimensionale EUKLID
sche Raum mit rechtwinkligen CARTESIschen Koordinaten*) betrachtet. Man
spricht dann von CARTESIschen Tensoren.
Zur Darstellung der tensoriellen GroBen solI im folgenden die Index
schreibweise bevorzugt werden. So druckt man beispielsweise den Geschwin
digkeitsvektor, der in symbolischer Schreibweise durch ; oder ~ gekenn
zeichnet wird und im dreidimensionalen EUKLIDschen Raum die Koordinaten
vI' v2' v3 besitzt, kurz durch vi aus. Entsprechendes gilt z.B. fur den
Spannungstensor £, fur den in der Indexschreibweise 0ij geschrieben wird.
In der Literatur findet man beide Schreibweisen. So sollte man auch mit
beiden Schreibweisen vertraut sein. Die symbolische Schreibweise verdeut
licht den vom Koordinatensystem unabhangigen physikalischen Gehalt einer
Beziehung zwischen den FeldgroBen. Zum Herleiten von Formeln und beim Lo
sen von Ubungsaufgaben bietet jedoch die Indexschreibweise meistens gro
Bere Vorteile, insbesondere bei Tensoren, deren Stufenzahl groBer als
zwei ist.
*) Ein CARTESIsches Koordinatensystem ist durch gleiche lineare MaBein
teilung auf allen Achsen ausgezeichnet. Insbesondere spricht man von
rechtwinkligen CARTESIschen Koordinaten, wenn die Koordinatenachsen
paarweise orthogonal sind.